ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f(x) формулой:

Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., к-рая во мн. случаях проще соответствующей

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физич. смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии нек-рого колебания сумме энергий его гармонич. компонент.

Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [напр., для функций f(x) таких,

определяется формулой (У)], и даже на нек-рые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода спец. функции, напр. Бесселя функции; это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп. Другим является т. н. преобразование Ф у р ь е-С тилтьеса, широко применяемое, напр., в теории вероятностей; оно определяется для произвольной огра-

(теорема Б о х н е р а-X и н ч и н а). Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (напр., при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории спец. функций и т. д.), так ив различных разделах теоре-тич. физики. Напр., Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля, широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т. д.

Лит.: С н е д д о н И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.