АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, напр. нулю); А. в. иногда наз. также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция является А. в. для f(x) при(или), если при (или ), или, что то же самое, если где при  (или ). В этом случае пишут: при (или ). Как правило,  должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами 

А. в. при  могут служить

Более сложные А. в. при x->оo возникают для важных функций из теории чисел и спец. функций матем. физики. Напр.,  - число простых чисел, не превосходящих x,

где  - гамма-функция; для целочисленных значений х = п имеем  что приводит к Стирлинга

формуле:при. Ещё более сложными А. в. обладают, напр., Бесселя функции.

А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости  Так, напр., при и

А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.

В. И. Левин.