БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

БИРАЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, точечное преобразование плоскости, при к-ром любая точка Р преобразуется в точку Р‘ так, что координаты точки Р‘ рационально выражаются через координаты точки Р и, наоборот, координаты точки Р рационально выражаются через координаты точки Р‘. Напр., взаимно однозначное Б. п. всей проективной плоскости на себя ъ однородных координатах х, у, t имеет вид:

х‘ = ах + by + ct; у‘ = dx + ey + ft; t‘ = gx + hy + it.

В алгебраической геометрии широко используются Б. п. кривой в кривую, т. е. такие преобразования, при к-рых координаты точек преобразованной кривой рационально выражаются через координаты точек данной кривой и наоборот. Напр., преобразование х‘=х², у‘=у²является Б. п. прямой ах + bу = 1 в параболу 4b²y‘=(a²x-b²y‘-1)²- Т. о., парабола является уникурсалъной кривой, т. е. кривой, к-рая допускает Б. п. в прямую. Лит.: Уокер Р., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960. Э.Г.Позняк.