БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН, общий принцип, в силу к-рого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при нек-рых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Точная формулировка и условия применимости Б. ч. з. даются в теории вероятностей. Б. ч. з. является одним из выражений диалектич. связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713, см. Бернулли теорема). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении к-рого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин "закон больших чисел". Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867). В этом современном понимании Б. ч. з. утверждает, что при нек-рых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое достаточно большого числа п случайных величин Х_k с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания а = Е(х). Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства Б. ч. з., основанный на применении т. н. Чебышева неравенства.

х = (х₁+ Х₂ +...+ Х_n)/n

Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математич. ожидание а, Б. ч. з. утверждает, что при любом е>0 вероятность неравенства |х - а|<e стремится к единице при n-> бесконечнось. Порядок отклонений х от а указывается предельными теоремами теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок 1/корень из n. Соответственно, случайные отклонения суммы х= х₁ + х₂ + ...+ х_п = пх от её математич. ожидания па растут как корень из п. Этот факт (называемый в упрощённых популярных изложениях "законом корня квадратного из n") даёт нек-рое, хотя и грубое, представление о характере действия Б. ч. з. Наглядное объяснение смысла и значения Б. ч. з. даёт следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено N молекул газа. В соответствии с кинетич. теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку о стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс f_k (см. Ударный импульс). Импульс f_kявляется типичной случайной величиной, т. к. состояние рассматриваемого газа определяет лишь математич. ожидание а = E(f_k) этого импульса, фактич. же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля - в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку 0).

Сумма импульсов всех молекул, сообщаемых площадке а за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математич. ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (к-рый проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно - почти точно равным своему математич. ожиданию А. Этим, с точки зрения кине-тич. теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку а является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять Б. ч. з. и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от её математич. ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, напр., из 1000 партий к.-л. изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить п_к число дефектных изделий в к-й партии, то обшее число дефектных изделий равно

математич. ожидание числа дефектных изделии среди тех десяти, к-рые взяты для испытаний из к-й партии, равно S_K=(¹⁰/₁₀₀)n_k, а математич. ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

В силу Б. ч. з. естественно считать, что n/100~125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000<п<1500, но уже оценка 1100<n<1400 не была бы достаточно надёжной, а для оценки 1200<n< 1300 совсем не имеется серьёзных оснований. Получить более точную оценку для п можно, лишь испытав большее число изделий.

Условие независимости слагаемых в большинстве применений Б. ч. з. если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости Б. ч. з. к случаю зависимых слагаемых. Основные математич. работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б. ч. з. применим, если между слагаемыми с далёкими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, напр., положение в рядах метеорологич. наблюдений над темп-рой или давлением воздуха.

Математич. сторона вопросов, связанных с Б. ч. з., освещена также в ст. Предельные теоремы теории вероятностей и Вероятностей теория. В применениях Б. ч. з. необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

Лит.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.- Часть 4 соч. Я. Бернулли..., СПБ, 1913); Р о-isson S.-D., Recherches sur la probability des jugements en matiere crlminelle et en matiere civile, precedees des regies generates du calcul des probabilites, P., 1837; Ч е б ы ш е в П. Л., О средних величинах, Поли. cобр. соч., т. 2, М.-Л., 1947, с. 431-37; Г н е д е н к о Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965. А. Н. Колмогоров.

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН в экономич. науке и в социально-экономич. статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономич. процессов. В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (напр., средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, к-рые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны - поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления. Б. ч. з. не имеет отношения ко второй группе факторов (причин), следовательно, к сущности массового явления. Он не создаёт ни самих, проявляющихся в среднем, закономерностей, ни их общей средней меры для массы единиц явления (напр., уровня стоимости или производительности труда, средней нормы прибыли, вероятности заболевания и т. д.); следовательно, Б. ч. з. не в состоянии ни изменить средний уровень явления, ни вызвать устойчивость динамич. ряда уровней, ни предопределить размеры отклонений от среднего уровня, ни, тем более, служить объяснению реальных причин возникновения самого уровня или отклонений от него. Отсюда ясна полная несостоятельность антинауч. попыток нек-рых бурж. учёных приписать Б. ч. з. чудодейственную, почти мистич. способность творить закономерность из хаоса любых случайностей, даже если в них внутренняя необходимость, внутренняя закономерность и не заложена,- лишь бы было "большое число" единиц, к-рое якобы само по себе, независимо от сущности массового явления, приводит к возникновению закономерности в нём. Б. ч. з. не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании Б. ч. з. уже основывались в своих демографич. и статистич. исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле. В 19 в. толкование экономич. явлений, как массовых с сопутствующим действием Б. ч. з., приобретает всё большее распространение. В трудах К. Маркса, особенно в "Капитале", все категории экономич. действительности и экономич. науки выступают как средние величины (среднее общественно необходимое рабочее время, простой средний труд, средний в данном обществе уровень умелости и интенсивности труда, средняя скорость обращения денег, средняя норма прибыли и т. д.). Равным образом лишь как средние уровни, лишь в среднем могут проявляться, по концепции Маркса, любые экономич. законы и закономерности (при капитализме действующие "слепо", стихийно). Вместе с тем Маркс и Энгельс неоднократно писали о специфич. форме проявления экономич. законов и закономерностей: "Совокупное движение этого беспорядка есть его порядок" (М а р к с К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 6, с. 438; речь идёт о движении цен); "...Общие законы осуществляются, ... лишь как господствующая тенденция, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний" (Маркс К., там же, т. 25, ч. 1, с. 176); "...внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах, и... он остается поэтому невидимым и непонятным для самих отдельных агентов производства" (там же, т. 25, ч. 2, с. 396); об "экономических законах вообще" Энгельс писал: "...все они не имеют иной реальности, кроме как в приближении, в тенденции, в среднем, но не в непосредственной действительности" (там же, т. 39, с. 355). Отклонения множества цен от стоимости Маркс трактует как форму проявления закона стоимости: "...возможность отклонения цены от величины стоимости заключена уже в самой форме цены. К это не является недостатком этой формы,- наоборот, именно эта отличительная черта делает ее адэкватной формой такого способа производства, при котором правило может прокладывать себе путь сквозь беспорядочный хаос только как слепо действующий закон средних чисел" (там же, т. 23, с. 112). Позднее В. И. Ленин писал о том же в несколько иных выражениях: "...вполне естественно, что в обществе разрозненных товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может проявляться иначе как в средней, общественной, массовой закономерности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту или другую сторону" (Поли. собр. соч., 5 изд., т. 26, с. 68). Не возникает сомнений, что и Маркс, и Ленин говорят здесь о Б. ч. з., однако Маркс называет его иным термином: Durchschnittsgesetz, т. е. "законом осреднения", "осредняющим законом", "законом средних чисел"; причину этого надо видеть в том, что факт проявления любого закона в виде средней величины Маркс считал существеннее факта его проявления лишь на большом числе случаев. Отсюда-установившееся в сов. статистич. науке отождествление понятий и терминов "Б. ч. з." и "закон средних чисел", часто "закон больших (средних) чисел ".

Необходимо строго различать взаимопогашение случайных отклонений отдельных единиц от среднего уровня всего массового явления при действии Б. ч. з. и чисто алгебраич. уравновешивание суммы положительных и суммы отрицат. отклонений при вычислении любой ариф-метич. средней. Эти последние уравновешиваются в силу самого правила вычисления средней и притом полностью, как в случае типической средней для однородной совокупности (когда индивидуальные отклонения действительно случайны), так и при чисто фиктивной, "огульной" средней для явно разнородной совокупности (когда в индивидуальных отклонениях переплетены и существенные и случайные элементы), и притом при любом числе индивидуальных значений, объединяемых арифметич. средней. Действие же Б. ч. з. состоит во взаимопогашении случайных отклонений от уровня, соответствующего закономерности массового явления и лишь приближённо отражаемого средней величиной, а потому такое взаимопогашение не может быть полным, и оно зависит от численности входящих в массу единичных явлений.

Значение факта действия Б. ч. з. велико для любой совр. науки, в частности и в особенности - для науч. разработки теории статистики и методов статистич. познания. Действие Б. ч. з. имеет всеобщее значение для самих объектов статистич. изучения - статистич. совокупностей с их сводными признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании действия Б. ч. з. при случайном отборе единиц массовой совокупности для образования выборки основан важный статистич. метод выборочного наблюдения.

Лит.: Слуцкий Е. Е., К вопросу о законе больших чисел, "Вестник статистики", 1925, кн. 22, №7-9; Я с т р е м-с к и и Б. С., Труды по статистике..., М., 1937, с. 311 - 348, 459 - 498; Лившиц Ф. Д., Закон больших (средних) чисел в общественных явлениях, "Уч. зап. по статистике АН СССР", 1955, т. 1, с. 166-92; его ж е, К вопросу об оценке работ А. А. Чупрова и С. Пуассона, "Вестник статистики", 1958, № 4; П а с х а в е р И. С., Закон больших чисел и закономерности массового процесса, М., 1966; Вопросы статистической методологии и статистико-экономического анализа. Материалы межвузовской научной конференции, М., 1966, с. 63 - 102; Малый И. Г., Вопросы статистики в "Капитале" Карла Маркса, М., 1967, гл. III (в главе также приведены многие высказывания К. Маркса, Ф. Энгельса и В. И. Ленина о средних величинах и Б. ч. з.).

Ф. Д. Лившиц.