ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД, статистич. метод исследования общих свойств совокупности к.-л. объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Математич. теория В. м. опирается на два важных раздела математической статистики - теорию выбора из конечной совокупности и теорию выбора из бесконечной совокупности. Осн. отличие В. м. для конечной и бесконечной совокупностей заключается в том, что в первом случае В. м. применяется, как правило, к объектам неслучайной, детерминированной природы (напр., число дефектных изделий в данной партии готовой продукции не является случайной величиной: это число - неизвестная постоянная, к-рую и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором случае В. м. обычно применяется для изучения свойств случайных объектов (напр., для исследования свойств непрерывно распределённых случайных ошибок измерений, каждое из к-рых теоретически может быть истолковано как реализация одного из бесконечного множества возможных результатов).

Выбор из конечной совокупности и его теория являются основой статистич. методов контроля качества и часто применяются в социологич. исследованиях (см. Выборочное наблюдение). Согласно теории вероятностей, выборка будет правильно отражать свойства всей совокупности, если выбор производится случайно, т. е. так, что любая из возможных выборок заданного объёма п из совокупности объёма N [число таких выборок равно N!/n!(N - n)!] имеет одинаковую вероятность быть фактически выбранной.

На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором след, объекта в исследуемую совокупность не возвращается (такой выбор применяется при статистич. контроле качества). Выбор с возвращением (выборка с повторением) рассматривается обычно лишь в теоретич. исследованиях (примером выбора с возвращением является регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного времени стенок сосуда, внутри которого совершается броуновское движение). Если п <<.N, то повторный и бесповторный выборы дают практически эквивалентные результаты.

Свойства совокупности, исследуемые В. м., могут быть качественными и количественными. В первом случае задача выборочного обследования заключается в определении количества М объектов совокупности, обладающих к.-л. признаком (напр., при статистич. контроле часто интересуются количеством М дефектных изделий в партии объёма N). Оценкой для М служит отношение мN/n, где ц. - число объектов с данным признаком в выборке объёма п. В случае количественного признака имеют дело с определением ср. значения совокупности х = (x₁ + х_г + . . . + Xn)/N. Оценкой для х является выборочное среднее Е = (Е₁ + Е₂ + . . . +Е_n)/n. где Е₁.., Е_n - те значения из исследуемой совокупности x₁, x₂,. . ., x_N, к-рые принадлежат выборке. С математич. точки зрения 1-й случай - частная разновидность 2-го, к-рая имеет место, когда М величин x_i равны 1, а остальные (N - М)равны 0; в этой ситуации х = M/N и Е = м/n.

В математич. теории В. м. оценка ср. значений занимает центр, место потому, что к ней в известной степени сводится изучение изменчивости признака внутри совокупности, т. к. за характеристику изменчивости обычно ппинимают дисперсию

o² = 1/N[(x₁-x)² + . . . + (x_N - x)²],

представляющую собой ср. значение квадратов отклонений Xi от их ср. значения х. В случае изучения качественного признака o² = М (N - M)/N².

О точности оценок ц/я и g судят по их дисперсиям

которые в терминах дисперсии конечной совокупности o² выражаются в виде отношений о²/n (в случае выборок с повторением) и o²(N - n)/n(N - 1) (в случае бесповторных выборок). Т. к. во многих практически интересных задачах случайные величины ц/к и Е при п >= 30 приближённо подчиняются нормальному распределению, то отклонения м/n от M/N и Е от х, превышающие по абсолютной величине 2o_м/_n и 2о_Е , соответственно, могут при п>= 30 осуществиться в среднем приблизительно в одном случае из двадцати. Более полную информацию о распределении количественного признака в данной совокупности можно получить с помощью эмпирич. распределения этого признака в выборке. Выбор из бесконечной совокупности. В математич. статистике результаты каких-либо однородных наблюдений (чаще всего независимых) принято наз. выборкой даже в том случае, когда эти результаты не соответствуют понятию выборки с повторениями или без повторений из конечной совокупности. Напр., результаты измерений углов на местности, подверженные независимым непрерывно распределённым случайным ошибкам, часто наз. выборкой из бесконечной совокупности. Предполагается, что принципиально можно осуществить любое число таких наблюдений. Полученные фактически результаты считают выборкой из бесконечного множества возможных результатов, наз. генеральной совокупностью.

Понятие генеральной совокупности не является логически безупречным и необходимым. Для решения практич. задач нужна не сама бесконечная генеральная совокупность, а лишь те или иные характеристики, к-рые ей ставятся в соответствие. Эти характеристики с точки зрения теории вероятностей являются числовыми или функциональными характеристиками нек-рого распределения вероятностей, а элементы выборки -случайными величинами, подчиняющимися этому распределению. Такое истолкование позволяет распространить на выборочные оценки общую теорию статистических оценок.

По этой причине, напр., в вероятностной теории обработки наблюдений понятие бесконечной генеральной совокупности заменяется понятием распределения вероятностей, содержащего неизвестные ‘параметры. Результаты наблюдений истолковываются как экспериментально наблюдаемые значения случайных величин, подчиняющихся этому распределению. Цель обработки - вычисление по результатам наблюдений в том или ином смысле оптимальных статистич. оценок для неизвестных параметров распределения.

Лит..-Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955, гл. 5;Кендалл М., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966. Л. Н. Большее.