ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО

ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО, геометрическое тело, обладающее тем свойством, что соединяющий две его любые точки отрезок содержится в нём целиком. На рис. тело а выпукло, а тело б не выпукло. Шар, куб, шаровой сегмент, полупространство - примеры В. т. Любая связная часть границы (см. Связное множество) В. т. наз. выпуклой поверхностью. Через каждую точку границы В. т. проходит по крайней мере одна опорная плоскость, имеющая общую точку (или отрезок, или часть плоскости) с границей тела, но не рассекающая его (плоскость Р на рис. а). В точках, где граница В. т.-гладкая поверхность, опорная плоскость будет касательной. В тех точках, где гладкость нарушается (напр., в вершине куба), можно провести бесконечно много опорных плоскостей. В. т. могут быть пяти типов: конечные (граница - замкнутая выпуклая поверхность), бесконечные (граница - одна бесконечная поверхность; напр. В. т., ограниченное параболоидом), бесконечные в обе стороны цилиндры (граница - замкнутая выпуклая цилиндрическая поверхность; напр, бесконечный круговой цилиндр), слои между парами параллельных плоскостей, всё пространство. В. т. могут быть заданы посредством опорной функции, выражающей расстояние от начала координат до опорной плоскости как функцию от внешней нормали к В. т. (т. е. единичного вектора, перпендикулярного опорной плоскости и направленного в сторону того из двух полупространств, определяемых этой плоскостью, в к-рой нет точек В. т.).

Простейшими В. т. являются выпуклые многогранники - В. т., ограниченные конечным числом многоугольников. Для любого конечного В. т. можно построить как угодно близкие к нему выпуклые многогранники. Это позволяет решать многие задачи о В. т. следующим образом: задача решается для выпуклых многогранников, а затем путём предельного перехода соответствующий результат обосновывается и для любого В. т. Так, напр., определяются площади выпуклых поверхностей и объёмы любых В. т. В частности, устанавливается, что если одно конечное В. т. охватывает другое, то площадь поверхности первого больше площади поверхности второго. Описанный метод был глубоко разработан А. Д. Александровым и применён для решения разнообразных новых задач теории В. т.

Общая теория В. т. и выпуклых поверхностей составляет т. н. геометрию В. т. Задачи геометрии В. т. охватывают широкий круг вопросов: общие свойства В. т. (теоремы об опорных плоскостях, классификация В. т., приближение многогранниками), экстремальные свойства В. т. (напр., шар среди всех В. т. с заданным объёмом имеет минимальную поверхность), теоремы о существовании и единственности В. т. с заданными свойствами (напр., теорема о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней), свойства различных классов В. т. (напр., тел постоянной ширины), общие свойства выпуклых поверхностей, теоремы существования и единственности для выпуклых поверхностей, внутр. геометрия выпуклых поверхностей и т. д. Понятие В. т. естественно возникает в геометрии пространств постоянной кривизны. Многие перечисленные выше задачи формулируются и решаются для В. т. в таких пространствах. Методы и результаты теории В. т. используются в различных разделах математики: в геометрии, в теории чисел, в математич. анализе. Основы теории В. т. были заложены в кон. 19 в. нем. математиками Г. Брунном и Г. Минковским. Важнейшие новые результаты этой теории были получены сов. математиками А. Д. Александровым и А. В. Погореловым.

Лит.: Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; его же, Выпуклые многогранники, М.-Л., 1950; Погорелое А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969. Э. Г. Позняк.