ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА, раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Содержание термина "В. м." нельзя считать установившимся, так как эта область интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых направлениях. Часто термин " В. м." понимается как теория численных методов и алгоритмов решения типовых матем. задач. Это толкование термина "В.м." получило распространение на первоначальном этапе, когда использование ЭВМ предъявило новые требования к численным методам; основной задачей на этом этапе была разработка новых методов, " удобных " для ЭВМ. Ниже В. м. понимается в первом - широком смысле этого термина.

В В. м. можно выделить следующие три больших раздела. Первый связан с применением ЭВМ в различных областях научной и практич. деятельности и может быть охарактеризован как анализ матем. моделей. Второй - с разработкой методов и алгоритмов решения типовых матем. задач, возникающих при исследованиях матем. моделей. Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ, включая теорию и практику программирования задач для ЭВМ, в т. ч. автоматизацию программирования задач для ЭВМ.

Анализ матем. моделей включает в себя изучение постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной информации, численное решение матем. задач, возникающих в связи с исследованием модели, анализ результатов вычислений, и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов. Задача выбора модели должна решаться с учётом следующего требования. Степень достоверности, с к-рой результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной её замены. Для этих задач приобретает существенное значение обработка исходной информации, что в большинстве случаев требует привлечения методов матем. статистики. Матем. модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в наст, время использование матем. моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в т. ч. в вопросах управления, планирования, прогнозирования и т. д.).

Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Т.о., в В.м. важное место занимают численные методы решения поставленных матем. задач и в первую очередь типовых матем. задач (В. м. в узком смысле слова).

В качестве примера типовых матем. задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения систем линейных алгебраич. уравнений (в частности, больших систем), обращение матриц, нахождение собственных значений матриц (как нескольких первых значений - ограниченная проблема собственных значений, так и нахождение всех собственных значений - полная проблема собственных значений). Другие примеры - численные методы дифференцирования и интегрирования функций одного или нескольких переменных; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (сюда включают, в частности, изучение и сравнительный анализ численных методов различных типов, напр. Адамса, Рунге - Кутта). Значительное число исследований посвящено численным методам решения уравнений с частцыми производными. Здесь большое направление составляют "экономичные методы", т. е. методы, позволяющие получать результаты при относительно малом (экономном) числе операций.

Быстро развивающимся направлением В. м. являются численные методы оптимизации. Задача оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, как правило, весьма сложной структуры. В первую очередь следует упомянуть задачи математического программирования (в т. ч. линейного и динамического), к к-рым сводятся многие задачи экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи (и соответствующие численные методы), возникающие при решении задач исследования операций (см. Операций исследование) и теории игр (см. Игр теория). Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возникают при решении многошаговых (динамически развивающихся) игр. Здесь даже матем. эксперимент (проигрывание вариантов поведения играющих) невозможен без использования мощных ЭВМ.

Применение ЭВМ к решению сложных задач, в особенности задач больших размеров, вызвало к жизни одно из гл. направлений в теории численных методов - исследования устойчивости методов и алгоритмов к различного рода ошибкам (в т. ч. к ошибкам округления).

Обратные задачи, напр, задача определения элемента х из уравнения Ах = b при известной информации об операторе А и элементе Ь, часто являются неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым погрешностям во входных данных могут соответствовать большие погрешности в х). Более того, обратные задачи часто имеют решение не для всех b, поэтому, задавая приближённое значение Ь, следует учитывать, что формально решение этой задачи может не существовать.

Неустойчивые задачи потребовали спец. определения понятия приближённых решений и развития соответствующих методов для их нахождения. К неустойчивым задачам относится широкий класс задач, связанных с проблемами автоматизации обработки результатов экспериментов.

В большинстве разделов В. м. важное место занимают вопросы оптимизации методов решения задач. Особенно это существенно для задач большего объёма (напр., с большим числом переменных).

Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг пользователей и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при к-рой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам, их классификации и к стандартным программам решения типовых задач.

В наст, время выделился ряд направлений прикладной науки, где совр. темпы научно-технич. прогресса были бы немыслимы без развития численных методов и применения ЭВМ.

Основной задачей теории программирования можно считать облегчение отношений человека с машиной, хотя этот взгляд и конкретное направление исследований претерпевают радикальные изменения с развитием вычислит, техники. Смена ряда поколений вычислит, машин обусловила смену трёх этапов в развитии программирования.

От составления программ на внутреннем языке машины программирование быстро перешло к составлению стандартных программ решения типовых задач и комплексов таких программ. При их употреблении для широкого класса задач отпадает необходимость в программировании метода решения; достаточно лишь ограничиться заданием исходной информации. Однако задание такой информации, а также написание нестандартных блоков всё равно требуют существенного объёма программирования на языке машины.

Появление машин следующего поколения с большим быстродействием сопровождалось ростом числа задач, предъявляемых к решению; в результате этого возникло узкое место системы человек - машина: скорость программирования. Это вызвало к жизни новый этап программирования - создание алгоритмич. языков с трансляторами для перевода с алгоритмич. языка на внутренний язык машины. Вследствие большей близости алгоритмич. языков к общечеловеческому их внедрение упростило программирование и существенно расширило круг пользователей.

Наряду с созданием универсальных алгоритмич. языков (алгол, фортан) был разработан ряд проблемно-ориентированных языков для определённого круга пользователей, напр, связанных с задачами обработки экономич. информации. Создание специализированных языков вызвано следующим: универсальные языки и трансляторы, предназначенные для решения широкого класса задач, иногда слабо учитывают специфику отдельных важных классов задач, что снижает эффективность использования всех возможностей машины.

При дальнейшем повышении скорости ЭВМ узким местом системы человек-машина стали устройства для ввода и вывода информации; их медленная работа сводила на нет высокопроизводит. работу центрального устройства. Необходимость преодоления этого противоречия явилась одной из причин создания систем одновременного решения на машине нескольких задач. Другой причиной было требование одновременной работы на машине большого коллектива пользователей (в частности, последнее особенно существенно при применении ЭВМ в автоматизированных системах управления). Всё это вместе с рядом других причин обусловило появление нового этапа программирования - системного программирования. Основной задачей системного программирования является создание операционных систем, управляющих работой машины, программным путём расширяющих возможности машины и предоставляющих пользователю дополнительное обслуживание, не предусмотренное аппаратурой: возможность ввода и вывода одновременно с решением задач, автоматизация редактирования выдачи, вывод графиков, работа с экраном, диалог с машиной, возможность одновременного решения на машине многих задач (система разделения времени).

Развитие применения ЭВМ характерно также организацией работы комплексов, включающих большое число машин, в т. ч. машин различных типов, вводные устройства, каналы связи между машинами и пользователем, а зачастую и физич. установки. Такие высокопроизводит. системы создаются, напр., для решения задач экономики и обработки физич. экспериментов, требующих ввода и обработки большого количества информации.

Задача развития вычислит, систем, в частности информационных систем и автоматизированных систем управления, является одной из наиболее актуальных научных проблем. А. Н. Тихонов.