ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, раздел математики, посвящённый теории и методам решения многошаговых задач оптимального управления.

В Д. п. для управляемых процессов среди всех возможных управлений ищется то, к-рое доставляет экстремальное (наименьшее или наибольшее) значение целевой функции - нек-рой числовой характеристике процесса. Под многошаговостью понимают либо многоступенчатую структуру процесса, либо разбиение управления на ряд последоват. этапов (шагов), соответствующих, как правило, различным моментам времени. Т. о., в назв. "Д. п." под "программированием" понимают "принятие решений", "планирование", а слово "динамическое" указывает на существ. роль времени и порядка выполнения операции в рассматриваемых процессах и методах.

Методы Д. п. являются составной частью методов, используемых в исследовании операций (см. Операций исследование), и применяются как в задачах оптимального планирования, так и при решении различных технич. проблем (напр., в задачах определения оптимальных размеров ступеней многоступенчатых ракет, в задачах оптимального проектирования прокладки дорог и др.).

Пусть, напр., процесс управления нек-рой системой состоит из т шагов (этапов), на i-м шагу управление у_iпереводит систему из состояния x_i-1в новое состояние x_i-1, к-рое зависит oт х_i-1и у_i. x_i=x_i(y_i,х_i-1)

Т. о., управление y₁, у₂, ..., y_т переводит систему из начального состояния х_mв конечное х_т. Требуется выбрать х₀ и y_t, ..., у_т таким образом, чтобы целевая

макс, значения F*. Осн. методом Д. п. является сведение общей задачи к ряду более простых экстремальных задач. Пользуясь т. н. принципом оптимальности, сформулированным амер. математиком Р. Беллманом, легко получить осн. функциональное ур-ние:

Т. о., метод Д. п. приводит к необходимости решения этой рекуррентной системы функциональных ур-ний. В процессе решения последовательность этапов проходится дважды: в приведённом варианте рекуррентной системы в первый раз от конца к началу (находятся оптимальные значения F* и х*₀), второй раз - от начала к концу (находятся оптимальные управления у*₁, ..., у*_т).

Методы Д. п. находят применение не только в дискретных, но и в непрерывных управляемых процессах, напр, в таких процессах, когда решения надо принимать в каждый момент нек-рого интервала времени. Д. п. дало новый подход к задачам вариационного исчисления.

Хотя метод Д. п. существенно упрощает исходные задачи, однако непосредственное его применение, как правило, сопряжено с громоздкими вычислениями. Для преодоления этих трудностей разрабатываются приближённые методы Д. п.

Лит.: Беллман Р., Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; X е д л н Д ж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967.

В. Г. Карманов.