ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ, часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого математика Диофанта, к-рый занимался задачей решения алгебраич. уравнений в целых числах -т. н. диофаптовых уравнений. Методы теории Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа.

Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа о подходящими дробями рk/qk разложения а в непрерывную дробь характеризуется неравенством |а - рk/qk| < 1/qk²; с другой стороны, если несократимая дробь а/b удовлетворяет неравенству |a - а/b|< 1/2 b², то она является подходящей дробью разложения а в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел и рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений хO - у - а, где O и а - нек-рые действительные числа, a x и у принимают целые значения (т. н. неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П. Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру: если а₁,..., а_п- действительные числа, для к-рых равенство а₁a₁+...+а_na_n= 0 с целыми а₁,, ..., а_n возможно лишь при a₁ = ... = а_n= 0, a В₁,..., В_n- нек-рые действительные числа, то при любом заданном е>0 можно найти число t и такие целые числа х1,..., х_n, что выполняются неравенства |ta_k - В_k - х_k|<е, k = 1,2,....n. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Кинчину и др. учёным построить систематич. теорию многомерных Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решётку в я-мерном арифметич. пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрич. теорем, имеющих приложения в теории Д. п.

В вопросах нелинейных Д. п. замечат. результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п. является проблема приближения алгебраических чисел рациональными.

К Д. п. относится теория трансцендентных чисел, в к-рой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и неск. чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел.

Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, "Успехи математических наук", 1949, т. 4, в. 4; фельдман Н. И.,Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Xинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, В., 1936.