ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ (по имени древнегреческого математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраич. уравнений с целыми коэфф., имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у к-рых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в совр. математике расширено: это уравнения, у к-рых разыскиваются решения в алгебраических числах. Д. у. наз. также неопределёнными. Простейшее Д. у. ах + by = 1, где а и b - целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0и y0 - одно решение, то числа х = х0 + bп, у = y0- an (п - любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2х + bу = 1 получаются по формулам х = 2 + Зn, у = - 1-2n (здесь х0 = 2, гу0 = - 1). Другим примером Д. у. является х2+ у2 = z2. Целые положит, решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и наз. пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоро-вых чисел можно получить по формулам х = т2 - п2, у- 2тп, z = т2 + n2, где т и п - целые числа (т>п>0). Диофант в соч. "Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. франц. математиком К. Г. Баше; к нач. 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида ах2 + bху + су2 + dx + еу + f = 0, где а, Ь, с, d, е, f - целые числа, т. е. общее неоднородное ур-ние второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, напр., что Д. у. х2 - dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d - целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого ур-ния, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения нек-рых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туэ установил, что Д. у. а0хn + a1xn-ly + ... + аnуn = с (где п>=3, а01,...,аn, с - целые и многочлен a0tn+a1tn-1+...+апнеприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Англ, математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений нек-рых таких ур-ний. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

ax3 + y3 = l.

Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема. Сов. математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.

Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skо1em Т h., Diophantische Gleichungen, В., 1938.




Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

ДИОЦЕЗ →← ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Смотреть что такое ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ в других словарях:

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

(по имени древнегреческого математика Диофанта)        алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие ч... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

- алгебраич. уравнения или системы алгебраич. уравнений с рациональными коэффициентами, решения к-рых отыскиваются в целых или рациональных числах. Обы... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.<br><br><br>... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

алгебр. ур-ния или их системы с целыми коэф., имеющие число неизвестных, превосходящее число ур-ний, и у к-рых разыскиваются целые или рациональные реш... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ - алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.<br>... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ , алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ, алгебраические уравнения или их системы с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.... смотреть

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

дыяфантавы раўнанні

T: 129