ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в к-ром гео-метрич. образы изучаются методами ма-тематич. анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и поверхностей. Обычно в Д. г. исследуются локальные свойства геометрич. образов, к-рые присущи сколь угодно малой их части. Рассматриваются также и свойства геометрич. образов в целом (напр., свойства замкнутых выпуклых поверхностей).

Геометрические объекты, изучаемые в Д. г., обычно подчинены нек-рым требованиям гладкости. Как правило, эти требования выражаются в том, что функции, задающие указанные объекты, не менее двух раз непрерывно дифференцируемы.

Сущность методов Д. г., применяемых для выяснения локальных свойств геометрич. объектов, проще всего уяснить на примере локального исследования формы кривых.

В каждой точке М достаточно гладкой кривой L можно построить касательную прямую МТ и соприкасающуюся плоскость л (рис. 1). При этом касательная МТ является пределом секущей MN при неограниченном приближении точки N к М по кривой L, а соприкасающаяся плоскость есть предел переменной плоскости, проходящей через касательную МТ и точку N при приближении N к М по L. Касательную МТ можно рассматривать также как прямую, наиболее тесно прилегающую к L вблизи точки М. Соприкасающаяся же плоскость представляет собой плоскость, наиболее тесно прилегающую к L вблизи М.

Рис. 1.

Для геометрич. характеристики искривлённости кривой L вблизи данной точки М рассматривается соприкасающаяся окружность, представляющая собой окружность, проходящую через М и наиболее тесно прилегающую к L, вблизи М. Это свойство выражается в том, что если учитывать величины только 1-го и 2-го порядка малости по сравнению с длиной дуги MN, то участок кривой L вблизи М можно считать дугой соприкасающейся окружности. Соприкасающаяся окружность касается L в точке М и расположена в соприкасающейся плоскости. Её центр наз. центром кривизны кривой L в точке М, а радиус - радиусом кривизны L в М.

Для численной характеристики искривлённости L в точке М используется кривизна k кривой, равная обратной величине радиуса R соприкасающейся окружности: k=1/R. Кривизну k можно рассматривать и как меру отклонения L от касательной МТ (рис. 1):

Рис. 2.

Мерой отклонения кривой от соприкасающейся плоскости я в точке М служит т. н. кручение а, к-рое определяется как предел отношения угла (3 между соприкасающимися плоскостями в точках М и N к длине Дs дуги MN при Дs->О:

При этом угол р берётся со знаком +, если для наблюдателя в М вращение соприкасающейся плоскости в N при приближении N к М происходит против часовой стрелки, и со знаком - в противном случае. Кручение кривой можно рассматривать как скорость изменения (вращения) соприкасающейся плоскости. В частности, для плоской кривой соприкасающаяся плоскость во всех точках совпадает с плоскостью кривой и поэтому кручение такой кривой во всех точках равно нулю. Кривизна k и кручение а достаточно гладкой кривой L, определены в каждой её точке и представляют собой функции параметра, определяющего точки этой кривой. Для вычисления k и а используется к.-л. способ задания кривой. Чаще всего кривая L задаётся па-раметрич. уравнениями в прямоугольных координатах: x = ф (t), y= w(t) , z = х(t)- (1) При изменении параметра t точка М с координатами (x, у, z) описывает кривую L. Иными словами, параметрич. уравнения кривой связаны с представлением о кривой как траектории движущейся точки. Правые части (1) могут рассматриваться и как проекции на оси координат радиуса-вектора r переменной точки М кривой L. Вектор г‘ с координатами {ф‘(0, w‘(t), Х‘(t)} наз. производной вектор-функции r(t) и направлен по касательной к L в точке М.

Кривизна и кручение вычисляются по формулам

в к-рых [r‘, r"] - векторное, а r‘r"r‘" -смешанное произведение (см. Векторное исчисление).

С каждой точкой М кривой L связаны три единичных вектора: касательной (t), главной нормали (n) и бинормали (b) (рис. 1). При этом вектор (га) расположен в соприкасающейся плоскости и направлен от точки М к центру кривизны L в М, а вектор Ь ортогонален t и и и направлен так, что векторы г, н и b образуют правую тройку. Указанная тройка векторов образует т. н. основной, или сопровождающий, триедр кривой L. Плоскости векторов (n,b) и (t, b) наз. соответственно нормальной и спрямляющей плоскостями L в М.

Формулы для производных векторов t, п, b по длине s дуги L наз. формулами френе. Они играют фундаментальную роль как в теории кривых, так и в приложениях этой теории (в механике, теоретич. физике и т. д.). Эти формулы имеют вид

Если кривизна и кручение не равны нулю в точке М, то можно сделать определённые заключения о форме L вблизи М: проекции L на соприкасающуюся и нормальную плоскости в М имеют вид, изображённый соответственно на рис. 3 и 4. Форма проекции на спрямляющую плоскость зависит от знака кручения. На рис. 5 и 6 изображены проекции L на спрямляющую плоскость для o>0 и o <0. Кривизна и кручение вполне определяют кривую. Именно, если между точками двух кривых установлено соответствие так, что соответствующие дуги этих кривых имеют одинаковую длину и в соответствующих точках кривые имеют равные кривизны и равные кручения, то эти кривые могут быть совмещены посредством движения.

По аналогии с кривыми исследуется локальное строение формы поверхностей. В каждой точке М достаточно гладкой поверхности S можно построить касательную плоскость у и однозначно определённый соприкасающийся параболоид л (рис. 7), к-рый может выродиться в параболич. цилиндр или плоскость. При этом касательную плоскость можно рассматривать как плоскость, наиболее тесно прилегающую к S вблизи М.

Рис. 7

Соприкасающийся же параболоид характеризуется тем, что в окрестности точки М он совпадает с S с точностью до величин третьего порядка малости по сравнению с размерами этой окрестности. С помощью соприкасающихся параболоидов точки М поверхностей классифицируются следующим образом: эллиптическая (рис. 8) (соприкасающийся параболоид -эллиптический), гиперболическая (рис. 9) (соприкасающийся параболоид - гиперболический), параболическая (рис. 10) (соприкасающийся параболоид - параболический цилиндр), точка уплощения (рис. 11) (соприкасающийся параболоид - плоскость).

Обычно для исследования строения поверхности используются т. н. первая и вторая основные квадратичные формы поверхности.

Пусть поверхность S определена пара-метрич. уравнениями: x= ф(u, v), y = w(u,v), z = x(u,v). (2) При фиксированном значении v уравнения (2) определяют на S линию, называемую координатной линией и. Аналогично определяется линия v. Координатные линии и и v образуют на S параметрическую сеть (если, напр., сферу радиуса 1 задать па-раметрич. ур-ниями х = cos и cos v, у =cos и sin v, z = sin u, то параметрич. сетью линий и и v будут меридианы и параллели этой сферы). Величины и и v наз. также внутренними координатами, т. к. точка на поверхности есть точка пересечения проходящих через неё координатных линий, т. е. может быть найдена путём построений на поверхности без обращения к объемлющему пространству.

Радиус-вектор г произвольной точки М на S определяется уравнениями (2) как функция и и V. Частные производные ru и rv этой функции суть векторы, касательные соответственно к линиям и и и. Эти векторы в точке М лежат в касательной плоскости к S в М. Векторное произведение [ru,rv] определяет нормаль к S в точке М.

Пусть s - длина дуги линии L на S и пусть и = f(t), v = g(t) - параметрич. ур-ния во внутр. координатах. Тогда, вдоль Lr и s будут функциями от г, причём дифференциал s определяется равенством ds2 = dx2 + dy2 + dz2, правая часть к-рого есть скалярный квадрат вектора dr= rudu + rvdv, т. е. ds2 = dr2. Поэтому ds2= rudu2 + 2ru rv dudv + r2v,dv С помощью обозначений r2u== Е, rurv= F, г2v = G выражение для ds2 можно записать в виде ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2. (3) Правая часть соотношения (3) наз. первой основной квадратичной формой поверхности S. С помощью этой формы можно измерять длины дуг на поверхности путём интегрирования выражения

вдоль рассматриваемой дуги. Поэтому форма (3) наз. также метрической формой поверхности. Первая форма определяет также внутреннюю геометрию поверхности, т. е. совокупность фактов, к-рые могут быть получены путём измерений на поверхности, без обращения к объемлющему пространству. Внутр. геометрия поверхности не меняется при её изгибании - деформации поверхности как абсолютно гибкой и нерастяжимой плёнки.

Вторая основная квадратичная форма поверхности представляет собой выражение Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, в котором L = ruun, М = ruun, N = rvvп (п - единичный вектор нормали к S в точке М). С помощью второй формы можно получить представление о пространственной форме поверхности. Напр., кривизны 1/К нормальных сечений поверхности в данной точке М (т. е. линий пересечения S с плоскостями, проходящими через нормаль в М) вычисляются по формуле

Две основные формы поверхности, заданные в к.-л. внутр. координатах, определяют поверхность с точностью до положения в пространстве. Если заданы две формы

первая из к-рых положительная, а коэфф. L, M и N второй удовлетворяют нек-рой системе уравнений, из к-рых одно (полученное К. Гауссом) алгебраическое, а два других (полученные К. М. Петерсоном)-линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка, то найдётся поверхность, для к-рой эти формы являются соответственно первой и второй основными формами.

Отмеченные уравнения Гаусса - Пе-терсона играют фундаментальную роль в теории поверхностей.

Подробнее о поверхностях см. Поверхностей теория.

Одним из объектов исследований в Д.г. являются семейства кривых и поверхностей. Такие семейства задаются посредством уравнений, содержащих параметры. Напр., ур-ние (х - а)2 + у2 = 1, содержащее параметр а, определяет семейство окружностей радиуса 1 с центрами в точках (а, 0), т. е. на оси Оx (рис. 12).

Рис. 12.

С семейством кривых (поверхностей) связано понятие огибающей - такой кривой (поверхности), к-рая касается всех кривых (поверхностей) семейства. В рассмотренном выше примере огибающей будет пара параллельных оси Ох прямых, отстоящих от неё на расстоянии 1. Особенно детально в Д. г. исследованы двупараметрич. семейства прямых b в пространстве, называемые конгруэнция м и. Простейший пример конгруэнции - семейство параллельных прямых в пространстве. Истоком теории конгруэнции является геометрическая оптика.

Различные разделы Д. г. посвящены изучению во всевозможных аспектах т. н. дифференциально-геометрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные многообразия), обычное евклидово пространство (трёхмерное многообразие). Более сложным примером может служить четырёхмерное многообразие, элементами к-рого являются прямые обычного "евклидова пространства (прямая в декартовых координатах определяется ур-ниями вида z = ах + b, z ~ су + d, числа а, b, с, d можно рассматривать как координаты этой прямой).

Изучение дифференциально-геометрич. многообразий ведётся по след. основным направлениям. 1) Геометрия транзитивной группы отображений многообразия на себя, или геометрия "локальной группы" отображений. В тематику этих вопросов входят обычная классич. локальная Д. г. (изучение инвариантов группы движений евклидова пространства), аффинная, проективная и конформная геометрии (изучение инвариантов соответствующей группы преобразований). 2) Геометрия многообразий с римановой метрикой (рима-новых пространств), представляющая собой обобщение на многомерный случай внутренней геометрии поверхностей, к-рое можно рассматривать как двумерные римановы пространства. Геометрия римановых пространств играет важную роль в теории относительности. 3) Геометрия т. н, финслеровых пространств, являющихся обобщением римановых пространств. 4) Геометрия многообразий со связностью, т. е. многообразий, в к-рых указан способ, с помощью к-рого можно сравнивать геометрии, образы, расположенные в касательных пространствах в разных точках.

Возникновение Д. г. связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Ими к концу 18 в. были получены важные факты теории поверхностей. Значит, вклад в развитие Д. г. сделан в нач. 19 в. К .Гауссом, к-рый ввёл обе основные квадратичные формы. Им же была доказана теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометрич. преобразований, фактически им были заложены основы внутр. геометрии поверхностей. Построение основ классич. теории поверхностей было завершено в сер. 19 в. основателем моек, геометрич. школы К. М. Петерсоном. В сер. и во 2-й пол. 19 в. много глубоких и общих результатов по классич. теории поверхностей было получено Ф. Миндин-гом, Ж. Лиувиллем, Э. Бельтрами, Ж. Г. Дарбу, Л. Бианки. Ряд замечат. результатов по классич. Д. г. был получен рус. учёными Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, С. П. Финиковым и др.

Развитие др. направлений в Д. г. связано с именами Б.Римана, Г. Ламе, Ф. Клейна, Г. Вейля, Э. Картона.

В СССР разрабатывались различные направления Д. г.; наибольшие успехи относятся к области проблем "в целом" (А. Д. Александров, А.В. Погорелое и др.).

Лит.: Монж Г., Приложение анализа к геометрии, пер. с франц., М.- Л., 1936; Стройк Д. Д ж., Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия, пер. с англ., М. -Л., 1941; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М., 1950; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М., 1964; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; Погорелов А. В..Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969. Э. Г. Лозняк.




Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ →← ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Смотреть что такое ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ в других словарях:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

        раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные до... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

- раздел геометрии, в к-ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются с... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯраздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь - дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777-1855), Г.Дарбу (1842-1917), Л.Бианки (1856-1928) и Л.Эйзенхарта (1876-1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии "в малом". Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и "глобальными" свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией "в целом". Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает "метрическая" дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826-1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.Кривые на плоскости и в пространстве. Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s - натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР.Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулойВектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N - единичный вектор нормали, тоКроме того, можно показать, чтоЕсли k задана как функция от s, например, k = ?(s), то уравнения (1)-(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = ?(s) называется внутренним уравнением кривой.Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s - натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенствомВектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в видегде B - единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент ? в (6) - кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, чтоСоотношения (5)-(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = ? (s) и ? = ? (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, - нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, - спрямляющей.Поверхности в пространстве. Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u1, u2), y = g (u1, u2), z = h (u1, u2) или векторным уравнением X = F (u1, u2). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именногде g11, g12 и g22 - функции от u1 и u2, определяемые выражениямиПолезно также ввести величины gij:Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формуламиЕдиничный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T1 и T2. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ?Ti/?uj (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T1, T2 и N :Величины Гijk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины (символы Кристоффеля первого рода) соотношениямигде по определениюВеличины bij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности bij играют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности - непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в видегде g11?1?1 + 2g12?1?2 + g22?2?2 = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора ? равнаЗа полуоборот вектора ? кривизна k(?) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора ?, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(?) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма - средней кривизной H. Эти величины определяются выражениямииВажную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K ? 0 - гиперболическую неевклидову геометрию.Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через gij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (bij) равен R1212, гдеВеличина (Rlijk) называется тензором кривизны поверхности.Риманова геометрия. Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулойв некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (gij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через gij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.Секционная кривизна K12 риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами ?1 и ?2:Если она одинакова для всех векторов ?1 и ?2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, гдеСвернутый тензор кривизны, определяемый выражениемиграет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором Rik = ?gij, называется пространством Эйнштейна.Дифференциальная геометрия в целом. Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса - Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностейгде интеграл берется по всей поверхности, K - гауссова кривизна и ? - характеристика Эйлера - Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ТОПОЛОГИЯ.... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.<br><br><br>... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ геометрия - раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.<br>... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ , раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в которой геометрические образы изучаются на основе метода координат средствами дифференциального исчисления. Первоначально предметом дифференциальной геометрии было изучение геометрических образов обычного трехмерного пространства (линий, поверхностей). Со 2-й пол. 19 в. рамки дифференциальной геометрии значительно расширились, включив также изучение т. н. многомерных пространств. Дифференциальная геометрия - важное орудие исследования в механике, теории относительности и др.... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, тип геометрии, в которой используются методы дифференциального ИСЧИСЛЕНИЯ для анализа геометрических понятий, таких как кри... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел геометрии, в к-рой геом. образы изучаются на основе метода координат средствами дифференц. исчисления. Первонач. предметом Д. г. было изучение г... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

часть геометрии, изучающая геом. образы на основе метода координат средствами дифференц. исчисления. Первоначально Д. г. изучала геом. образы обычного ... смотреть

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

дыферэнцыяльная геаметрыя Гдз по геометрии 7 решебник

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ

- раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топ... смотреть

T: 251