ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в к-ром изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную матем. дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали осн. положения Д. я. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с к-рым оно составляет осн. часть матем. анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда матем. дисциплин: теорий рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы матем. анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. "Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только с о-стояния, но и процессы: движение" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).
Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование к-рых составляют предмет введения в матем. анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили совр. содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Осн. идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение к-рых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них -определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является матем. выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из осн. понятий совр. нелинейного функционального анализа.
Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за нек-рый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s= gt2/2, где s -пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения, g ~~ 9,81 м/сек2. За первую секунду падения тело пройдёт ок. 4,9 м, за вторую - ок. 14,7 м, а за десятую - ок. 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за нек-рый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Дt равна
Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Дt приближается к величине gt, к-рую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в к.-л. момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.
В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + At и закона движения, выражаемого формулой s = f(t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t aot + At даётся формулой Дs/Дt, где Дs = - f(t + Дt) - f(t), а скорость движения в момент времени t равна
Осн. преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (f,t + Дt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.
К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис.) построения касательной к плоской кривой в нек-рой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f(x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла а, образованного касательной с осью Ох. Обозначим через х<, абсциссу точки М, а через х1= ха + Дх - абсциссу точки M1. Угловой коэффициент секущей MM1равен
где Ду = М1N = f(x0 + Дх) - f(x0) -приращение функции на отрезке [х0,х1]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM1, когда х1 стремится к х0, получаем
Отвлекаясь от механич. или геом.содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f(x) в точке х наз. предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что
С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Напр., сила тока
менение количества вещества за время Д?; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физ. величинам.
Производную функции у = f (х) обозначают f‘(х), у‘, dy/dx, df/dx или Df (x). Если функция y = f(x) имеет в точке х0 производную, то она определена как в самой точке Ха, так и в нек-рой окрестности этой точки и непрерывна в точке ха. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Напр., непрерывная в каждой точке функция у =|х| = + КОРЕНЬ(х2), графиком к-рой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т. к. отношение Дy//Дx не имеет предела при Дх->0: если Дх> 0, это отношение равно + 1, а если Дx<0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).
Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.
Здесь С, п и а - постоянные, я>0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.
Если производная f‘(x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f(x) и обозначают
у", f"(x), d2y/dx2, d2f/dx2
или D2f(x). Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.
Аналогично определяются и производные.более высокого (целого) порядка. Производная порядка п обозначается уn, fn(x), dny/dxn, dnf/dxnили Dnf(x).
Дифференциал. Функция у = f(x), область определения к-рой содержит нек-рую окрестность точки х0, наз. дифференцируемой в точке х0, если её приращение
где А=А(х0), а= a(x,х0)->0 при х->хо. В этом и только в этом случае выражение АДх наз. дифференциалом функции f(x) в точке ха и обозначается dy или df(xo). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении -г0 и меняющемся приращении Дх) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х0, так и от приращения Дх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х0, dy есть линейная функция от Дх; и разность Дy - dy есть бесконечно малая относительно Дх. Для функции f(x) = х имеем dx = Дх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного п е-ременного y= f(x) имела в точке х0дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f‘(х0), и справедливо равенство dy = f (х0)dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y - f(x) в точке с абсциссой х0 как предельное положение секущей является также такой прямой, к-рая в бесконечно малой окрестности точки х0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х0) = f‘(xa), запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f‘(х0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f‘(х0)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.
Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, напр., надо вычислить значение функции f(x) в точке х, если известны f(xo) и f‘(xo). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство f(x1)~~f(х0)+df(х0)=f(х0)+f‘(х0)+(х1-х0)
Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.
Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f(a) - f(b) = f‘(c) (b-а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.
Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т. д. Напр., условие f‘(x)>0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f(x), а условие f"(x) >0 -её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f‘(x) = 0.
Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида О/С и БЕСКОНЕЧНОСТЬ/БЕСКОНЕЧНОСТЬ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т. к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.
Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х,у) частной производной по х наз. производная этой функции по .г при постоянном у. Эта частная производная обозначается z‘x, f‘x(x,y), dz/dx или df(x,y)/dx, так что
Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина
Дz = f(x + Дx,y + Дy) - f(x,y) наз. полным приращением функции z= f(x,y). Если его можно представить в виде
где а - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х,у) и (x + Дx,у + Дy), то говорят, что функция z=f(x,y) дифференцируема. Слагаемые АДх + ВДу образуют полный дифференциал dz функции z = f(x,y), причём А = z‘x, B = z‘y. Вместо Д.Т и Ду обычно пишут dx и dy, так что
Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.
Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные d2f/dx2 и d2f/dy2, в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чисты-
ми, а частные производные d2f/dxdy и d2f/dydx - смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.
Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Напр., были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и нек-рым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.
Эпохой создания Д. и. как самостоят, раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математич. аппарата - при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.
Ок. 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Осн. задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость -флюкcиеq. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
В сер. 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Осн. понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ИНТЕГРАЛ (ydx), ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин "дифференциальное исчисление". Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.
Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитич. дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул в качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина -"производная" и обозначения у‘ или f‘(x). В нач. 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено гл. обр. благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в кон. 19 -нач. 20 вв.
Лит.:
История-Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строик Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.- В., 1901-24.
Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.- Л., 1937; Леибниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Л‘Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М.-Л-, 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М.- Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные пособия по Д. и. Xинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его ж е, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М.- Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. -М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.
Под редакцией С. Б. Стечкина.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных откр... смотреть
раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоят... смотреть
- раздел математики, в к-ром изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций. Развитие Д. и. тесно связано... смотреть
на аналитических пространствах - обобщение классич. исчисления дифференциальных форм и дифференциальных операторов на случай аналитич. ространств.... смотреть
раздел математики, в к-ром изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств ф-ций. Производной ф-ции у = f(x) наз. предел от... смотреть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x, y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.<br><br><br>... смотреть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ исчисление - раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной.Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.<br>... смотреть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.... смотреть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ , раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения ?y = y1 - y0 функции к приращению ?x = x1 - x0 аргумента при ?x, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f?(x) или y?; таким образом, Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = y?dx, где dx = ?x - приращение аргумента x. Очевидно, что y? = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f?(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают f??(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) - функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = f?x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = f?y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла ? (см. рис.) между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x0, y0), равен значению производной при x = x0, т. е. f?(x0). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.... смотреть
, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Dy=y<sub>1</sub>-y<sub>0</sub> к приращению аргумента Dx=x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub> при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается y'' т.о. y'=lim Dy/Dx при Dx®0. Дифференциалом функции y=f(x) называется выражение dy=y', где dx=y'Dx - приращение аргумента x. Очевидно, что y'=dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называется дифференцированием. Если производная f' (x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f (x) и обозначают f" (x), и т.д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что так называемый угловой коэффициент касательной, т.е. тангенс угла a между осью Ox и касательной к кривой y=f(x) в точке M(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>), равен значению производной при x=x<sub>0</sub>, т.е. f' (x<sub>0</sub>). С точки зрения механики производную от пути по времени можно истолковать как скорость прямолинейно движущейся точки. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.... смотреть
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕматематическая наука, занимающаяся изучением дифференциалов функций, т. е. выражений, показывающих, в какой зависимости пере... смотреть
дифференциальное исчислениеחֶשבּוֹן דִיפֶרֶנצִיאָלִי ז'
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, см. ИСЧИСЛЕНИЕ.
differential calculus, calculus* * *differential calculus
calcolo differenziale
мат cálculo diferencial
differential calculus
differential calculus
Differentialrechnung
calcul différentiel
диференціа́льне чи́слення
дыферэнцыяльнае злічэнне
диференційне обчислення.
calcolo differenziale
differential calculus
• diferenciální počet
differential calculus
дифференциалдық есеп