ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ БИНОМ, биномиальный дифференциал, выражение вида x^m(a + bxⁿ)^pdx, где а и b - постоянные, отличные от нуля, т, п и р - рациональные числа. Интеграл от Д. 6. ИНТЕГРАЛ х^т (а + bⁿ)^p dx выражается в конечном виде через элементарные функции лишь в трёх случаях: 1) если р - целое число; 2) если (т +1)/n-целое число; 3) если [(m + 1)/n] + р-целое число. Эти три случая интегрируемости Д. б. были известны ещё Л. Эйлеру. П. Л. Чебышев в 1853 показал, что во всех остальных случаях интеграл от Д. б. в конечном виде через элементарные функции не выражается. Это один из первых случаев, когда вопрос об интегрируемости в конечном виде к.-л. достаточно общего класса аналитич. выражений был решён до конца. Результат Чебышева может быть поставлен в ряд с классич. теоремами о невозможности алгебраич. решения различных классов алгебраич. уравнений и о неразрешимости при помощи циркуля и линейки задачи о квадратуре круга.