ЗИВЕРС

ЗИВЕРС (Sievers) Эдуард (25.11.1850, Липпольдсберг, Гессен,-30.3.1932, Лейпциг), немецкий языковед. Окончил

или иной удобный символ. Так, в кон. 15 в. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания р и m (от лат. plus и minus), нем. математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка 3. м. для действия умножения.

у нем. математика М. Штифеля (1544):

у итал. математика Р. Бомбелли (1572):

у франц. математика Ф. Виета (1591):

у англ. математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и нач. 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.

Значит. шагом вперёд в развитии математич. символики явилось введение Вие-том (1591) 3. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв лат. алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраич. уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Напр., запись Виета[ cubus - куб, planus - плоский, т. е. В - двумерная величина; solid us - телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:

Виет явился творцом алгебраич. формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры совр. вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, г, а произвольные данные величины - начальными буквами а, Ь, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие 3. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики к-рого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Даты возникновения некоторых математических знаков

Знак

Значение

Кто ввёл

Когда

введён

бесконечность

Дж. Валлис

1655

основание натуральных логарифмов

Л. Эйлер

1736

отношение длины окружности к диаметру

У. Джонс Л. Эйлер

1706 1736

корень квадратный из - 1

Л. Эйлер

1777 (в печати 1794)

единичные векторы, орты

У. Гамильтон

1853

угол параллельности

Н. И. Лобачевский

1835

неизвестные или переменные величины

Р. Декарт

1637

вектор

О. Коши

1853

немецкие математики

конец 15 в.

умножение умножение

У. Оутред Г. Лейбниц

1631 1698

деление

Г. Лейбниц

1684

степени

Р. Декарт И. Ньютон

1637 1676

корни

К. Рудольф А. Жирар

1525 1629

логарифм

И. Кеплер Б. Кавальери

1624 1632

Л. Эйлер

1748

тангенс

Л. Эйлер

1753

арксинус

Ж. Лагранж

1772

В. Риккати

1757

дифференциал

Г. Лейбниц

1675 (в печати 1684)

интеграл

Г. Лейбниц

1675 (в печати 1686)

производная

Г. Лейбниц

1675

производная разность

Ж. Лагранж Л. Эйлер

1770, 1779 1755

частная производная

Л. Лежандр

1786

определённый интеграл

Ж. Фурье

1819-22

сумма

Л. Эйлер

1755

произведение

К. Гаусс

1812

факториал

К. Крамп

1808

модуль

К. Вейерштрасс

1841

предел

С. Л юн лье

У. Гамильтон многие математики

1786

1853 начало 20 в.

дзета-функция

Б. Риман

1857

гамма-функция

А. Лежандр

1808

бета-функция

Ж. Бине

1839

дельта (оператор Лапласа)

Р. Мёрфн

1833

набла (оператор Гамильтона)

У. Гамильтон

1853

функция

И. Бернулли Л. Эйлер

1718 1734

равенство

Р. Рекорд

1557

Т. Гарриот

1631

сравнимость

К. Гаусс

1801

параллельность

У. Оутред

1677

перпендикулярность

П. Эригон

1634

И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и след. гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины х в виде  и для бесконечно малого приращения о. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности

Создателем совр. символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне 3. м. дифференциалови интеграла

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежит Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f(x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736),  [вероятно, от греческого  (periphereia) - окружность, периферия, 1736], мнимой единицы (от франц. imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).

В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины(К. Вейерштрасс, 1841), вектора (О. Коши 1853), определителя (А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., напр. тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.

Наряду с указанным процессом стандартизации 3. м. в совр. лит-ре весьма часто можно встретить 3. м., используемые отд. авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения математич. логики, среди 3. м. можно наметить следующие осн. группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Напр., знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1+3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём осн. группам 3. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания осн. знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.

Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "переменных", или "неизвестных", объектов, операций и отношений.

Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу на стр. 549):

А₁) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и ; мнимой единицы i.

Б₁) Знаки арифметич. действий + , -, •, , : ; извлечения корня, дифференцирования  ; знаки суммы (объединения)  и произведения (пересечения)  множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т. п.

В₁) Знаки равенства и неравенства , знаки параллельности и перпендикулярности , знаки принадлежности  элемента нек-рому множеству и включения  одного множества в другое и т. п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые к.-л. заранее оговорённым условиям. Напр., при записи тождества (a + b) (a - b) = = а²- b²буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучении функциональной зависимости у = х² буквы х и у - произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и - 1).

С логич. точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математич. логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения" переменного может оказаться состоящей из одного единств. объекта или даже "пустой" (напр., в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

А₂) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрич. фигур буквами в геометрии.

Б₂) Обозначения f, F,  для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, напр., произвольный оператор вида:

Обозначения для "переменных отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математич. логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математич. исследованиях.

Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1 - 2, Chi., 1928 - 29.