МЕРА МНОЖЕСТВА

МЕРА МНОЖЕСТВА, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (Д) любого квадрата Д полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество А покрывают конечным или бесконечным числом квадратов Д₁, Д₂, ..., Д_n, ...; нижнюю грань чисел  Суммы по n от1 до бесконечности  равную m(Д_n), взятую по всевозможным покрытиям множества А, называют верхней (внешней) мерой т* (А) множества А, Нижняя (внутренняя) мера  m* (А) множества А определяется как разность m(Д) - - m*(А), где Д - к.-л. квадрат, содержащий множество А, и А - множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А. Множества, для к-рых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее значение т (А) верхней и нижней мер - мерой Лебега множества А. Геометрич. фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая область), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия множества интервалами. Осн. свойства меры Лебега: 1) мера любого множества неотрицательна: m(A)>=0; 2) мера суммы А=сумме (по n от 1 до бесконечности) A_n конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств А₁, А₂,..., А_n .... равна сумме их мер m(A)=cумма (по n от 1 до бесконечности) m(А_n);

3) при перемещении множества как твердого тела его мера не меняется.

Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0,1) и множество В иррациональных точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из, них плотно на интервале (0,1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала найдутся как точки множества А, так и точки множества В, в то же время они резко различаются по мере: т (А) = 0, а т(В)

= 1.

Для более узких классов множеств мера, совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом (1893) и Э. Борелем (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега, см. Интеграл.