МАТРИЦА

МАТРИЦА в математике, система элементов а_ij(чисел, функций или иных величин, над к-рыми можно производить алгебраич. операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет т строк и п столбцов, то говорят о (т X n)-матрице. Обозначения:

Короче: ||а_ij||, (a_ij)/ Наряду с конечными М. рассматриваются М. с бесконечным числом строк или столбцов.

М., состоящая из одной строки, наз. строкой, из одного столбца - столбцом. Если т = п, то М. наз. квадратной, а число п - её порядком. Квадратная М., у к-рой отличны от нуля лишь диагональные элементы a_i = a_ii, наз. диагональной и обозначается diag (a₁, ..., а_n). Если все a_i = а, получают скалярную М. При a = 1 М. наз. единичной и обозначается Е. М., все элементы к-рой равны нулю, наз. нулевой.

Переставив в М. строки со столбцами, получают транспонированную М. А‘, или Л^т. Если элементы М. заменяют на комплексно-сопряжённые, получают комплексно-сопряжённую М. Л. Если элементы транспонированной М. А‘ заменяют на комплексно-сопряжённые, то получают М. А*, наз. сопряжённой с А. Определитель квадратной М. А обозначается \А\ или detA. Минором k-то порядка М. А наз. определитель k-то порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении нек-рых k строк и k столбцов М. Л в их естеств. расположении. Рангом М. Л наз. максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Действия над матрицами. Произведением прямоугольной (от X п)-матрицы Л на число а наз. М., элементы к-рой получены из элементов a_ij умножением на число а:

Сумма определяется для прямоугольных М. одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, т. е.

Умножение М. определяется только для прямоугольных М. таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (т X р)-матрицы Л на (р X n)-матрицу В будет (т X n)-матрица С с элементами

Введённые три действия над М. обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении М.: равенство АВ = В А может не выполняться. Матрицы А к В наз. перестановочными, если АВ = В А. Кроме того, произведение двух М. может равняться нулевой М., хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.

Справедливы правила: (АВ)‘ = В‘А‘, АВ = АВ, (АВ)* = В*А*.

Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению определителей перемножаемых М.

Часто удобно разбивать М. на клетки, являющиеся М. меньших размеров, проводя разделит, линии через всю М. слева направо или сверху вниз. При умножении такой т. и. клеточной М. на число, нужно умножить все её клетки на то же число. При надлежащем согласовании разбиений действия сложения и умножения клеточных М. осуществляются так, как будто вместо клеток стоят числа.

Квадратная М. А = (ац) наз. неособенной, или невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. наз. особенной (вырожденной). М. Л"¹ наз. обратной к квадратной М. А, если AA^-1 = E; при этом а = А_ki/|А|. Неособенность т М. Л есть необходимое и достаточное условие существования обратной М., к-рая при этом оказывается единственной и перестановочной с исходной М. Верна формула:

Болыной интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А⁺, определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:

АА⁺А = А, А+АА⁺ = А, АА⁺ = (АА⁺)*, А+А = (А+А)*.

Квадратные матрицы. Степенью Aⁿ М. А наз. произведение п сомножителей, равных А. Выражение вида а₀А^п + + а₁А^п-1 + ... + а_nЕ,. Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраич. многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (напр., f (t)=e^t).

Аналитич. функции от М. играют большую роль в теории дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде

(здесь X - столбец из неизвестных функций), имеет решение х - е^AtС, где С - столбец из произвольных постоянных .

Ненулевой столбец X такой, что АХ=ЛХ, наз. собственным вектором М. А. В этом равенстве коэффициент X может быть лишь одним из корней многочлена к-рый наз. характеристич. многочленом М. А. Эти корни наз. собственными значениями, или характеристич. числами, М. А. Коэффициенты характеристич. многочлена выражаются через суммы нек-рых миноров М. А. В частности, p₁ = а₁₁ + • • • + a_1n = SрA (след A), р_n = (-1)^n-1|A|. Справедливо соотношение Кэли-Гамильтона: если ф(t) есть характеристич. многочлен М. А, то ф(A) = 0, так что М.Л является "корнем" своего характеристич. многочлена.

М. Л наз. подобной М. В, если существует такая неособенная М. С, что В=С^-1AC. Легко проверяется, что подобные М. имеют одинаковые характеристич. многочлены.

Исчисление матриц. М.-полезный аппарат для исследования многих задач тео-ретич. и прикладной математики. Одной из важнейших задач является задача нахождения решения систем линейных алгебраич. уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в виде AX = F, где Л есть М. коэффициентов, X-искомое решение, записанное в виде столбца из п элементов, F - столбец свободных членов из т элементов. Если А-квадратная неособенная М., то система имеет единственное решение X = A^-1 F. Если А прямоугольная (га X п)-матрица ранга k, то решение может не существовать или быть не единственным. В случае несуществования решения имеет смысл обобщённое решение, дающее минимум сумме квадратов невязок (см. Наименьших квадратов метод). При отсутствии единственности точного или обобщённого решения часто выбирают нормальное решение, т. е. решение с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщённое решение находится по формуле X=A⁺F. Наиболее важен случай переопределённой системы: k=п<т. В этом случае обобщённое решение единственно. При k=m<n (недоопределённая система) точных решений бесконечно много и формула даёт нормальное решение.

Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравнений, в теории малых колебаний, в квантовой механике и т. д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значений М. и принадлежащие им собственные или корневые (нек-рые обобщения собственных) векторы. К этой задаче близко примыкает и обобщённая проблема собственных значений, в к-рой ищутся числа и векторы такие, что AХ=ЛВХ (А и В- заданные М.), и многие родственные проблемы.

С полной проблемой непосредственно связана также задача о приведении преобразованиями подобия квадратной М. к канонич. форме. Такой формой будет diag (Л₁, ..., Л_n), если М. имеет п различных собственных значений Л₁, ..., Л_п, или форма Жордана [см. Нормальная (жорданова) форма матрицы] в общем случае.

Ввиду большой практич. важности поставленных задач для их численного решения имеется большое число различных методов. Наряду с нахождением численного решения важно оценивать качество найденного решения и исследовать устойчивость решаемой задачи.

Матрицы специального типа. Существует большое число различных типов М. в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.

Нек-рые типы естественно возникают в приложениях. Приведённая таблица даёт ряд важных типов квадратных М.

Следует отметить также ленточные М.-такие М., ненулевые элементы к-рых могут располагаться на главной диагонали и на диагоналях,соседних с главной, напр, двухдиагональные и трёх диагональные М.

Не менее важны специальные типы М., употребляемых в качестве вспомогательных. Это элементарные М.- М., отличающиеся от единичной одним элементом; М. вращения и отражения.

Имеются унитарные аналоги М. вращения иотражения; правые (левые)треугольные М.-М., у к-рых равны нулю элементы под (над) главной диагональю; правые (левые) почти треугольные М. (М. типа Хессенберга) - М., у к-рых равны нулю элементы под (над) диагональю, соседней снизу (сверху) с главной.

Преобразование матриц. Численные методы решения систем линейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогательные М. с тем, чтобы перейти к легко решаемой системе. В качестве вспомогательных для вещественных М. употребляются элементарные М., М. вращения или М. отражения. Система с неособенной М. приводится либо к системе с треугольной М., либо с ортогональной. В теоретич. аспекте это равносильно представлению М. коэффициентов в виде произведения двух треугольных М. (при выполнении нек-рых дополнит, условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

Для переопределённой системы умножением слева на цепочку М. вращения или отражения можно прийти к системе с треугольной М, порядка и, решение к-рой даёт обобщённое решение исходной системы.

Для решения проблемы собственных значений, раньше чем применять наиболее эффективные итерационные методы, целесообразно подобно преобразовать М. общего вида к М. типа Хессенберга или к трёхдиагональной в случае симметрии. Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными М., М. вращения или М. отражения.

Историческая справка. Понятие М. было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в сер. 19 в. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я пол. 19 в. и нач., 20 в.). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитич. функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитич. коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в совр. математике и её приложениях. Исчисление М. развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры. Зизд., М., 1970; Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер с англ М., 197-0: ф _а д д е е в Д. К., Ф а д д е е в а В. Н-, Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.-Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; Ф р е з е р Р. А., Д у н к а н В., Коллар А., Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, пер. с англ., М., 1950; В а зо в В., Форсайт Д ж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, пер с англ., М., 1963. В. Н. Фаддеева.

Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ →← МАТРИЦА

МАТРИЦА

Синонимы слова "МАТРИЦА":

Смотреть что такое МАТРИЦА в других словарях: