МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ, понятие игр теории. М. и. - игры, в к-рых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет т стратегий, а игрок II -п стратегий, то игра может быть задана (m x n)-матрицей А = || a_ij ||, где a_ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i (z = 1, ...,т), а игрок II -стратегию j (j = 1, ..., га). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем к-рых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i₀, на к-рой достигается

игрок II стремится выбрать стратегию j₀, на к-рой достигается 

Если Vi = V2, то пара (i₀, j₀) составляет седловую точку игры, Т: е. выполняется двойное неравенство a_ij0< a_i0j0<a_i0j i=1,...,m; j=1,...,n Число ai₀j₀ наз. значением игры; стратегии i₀, j₀ наз. оптимальными чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если v₁ не равно v₂, то всегда v₁ <v₂ в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (т. е. вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с матем. ожиданиями выигрышей.

Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о мини максе) утверждает, что в любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на к-рых достигаемые «минимаксы» равны (общее их значение есть значение игры). Напр., игра с матрицей  имеет седловую точку при i₀ =2 2, j₀ = 1, а значение игры равно 2: игра с матрицей  не имеет седловой точки. Для нее оптимальные смешанные стратегии суть х*= (3/4, 1/4), у* = (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.

Для фактич. нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования. Можно использовать т. н. итеративный метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном разыгрывании» данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в к-рых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.

М. и. могут служить математич. моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математич. статистики, воен. дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают «природу», под к-рой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

Лит.: Матричные игры. [Сб. переводов], под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Д ж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971. А. А. Корбут.