МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ, поверхности, у к-рых средняя кривизна во всех точках равна нулю (см. Кривизна). М. п. появляются при решении следующей вариац. задачи: в пространстве дана нек-рая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих через эту кривую, найти такую, для к-рой часть её, заключённая внутри кривой, имела бы наименьшую площадь (минимальную площадь - отсюда назв.). Если заданная кривая - плоская, тс-решением, очевидно, будет ограниченный этой кривой кусок плоскости. В случае неплоской кривой необходимое условие, к-рому должна удовлетворять поверхность с минимальной площадью, было-установлено Ж. Лагранжем в 1760 и несколько позже истолковано геометрически Ж. Мёнъе в форме, эквивалентной требованию, чтобы средняя кривизна обращалась в нуль. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует минимума площади, однако впоследствии назв. "М. п." было сохранено за всякой поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность заданной ур-нием г = f(x,y)_t то, приравнивая нулю выражение для средней кривизны, приходят к дифференциальному ур-нию с частными производными 2-го порядка:

Исследованием этого ур-ния в различных формах занимались мн. математики, начиная с Ж. Лагранжа и Г. Монжа. Примерами М. п. могут служить: обыкновенная винтовая поверхность; катеноид-единственная (вещественная) М. п. среди поверхностей вращения; "поверхность Шерка", определяемая ур-нием z =cos y/cos x

М. п. имеет во всех точках неположиг. полную кривизну. Белы, физик Ж. Плато предложил способ экспериментального осуществления М. п. при помощи мыльных плёнок, натянутых на проволочный каркас.

Лит.: Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.- Л., 1947; Курант Р., Р о б-бинс Г., Что такое математика, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию,, пер. с нем., М., 1957.