НЬЮТОНА БИНОМ, название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
где п - целое положительное число, а и b - какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при п = 2 и га = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и 6 : (а + b)2 = а2 + 2аb + V, (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3; при n = 4 получают (а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4дb3 + b4, и т. д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при аn-kbkобозначается так: (nk) или Сkn. Последнее обозначение связано с комбинаторикой: Сknесть число сочетаний из п различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краёв к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + 6)" равна определённому коэффициенту в разложении (а + b)n+1; напр., суммы 1 + 3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)4. Вообще:
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого п. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем, 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение к-рое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного п все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |a|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b)n (см. Ряд). Формула Н. о. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно: ... смотреть
- формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен, расположенный по степеням одного из слагаемых двучлена: где - биномиальн... смотреть
НЬЮТОНА БИНОМназвание формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664-1665:Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n - положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом r n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 были известны задолго до Ньютона. См. также АЛГЕБРА; ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ; РЯДЫ.... смотреть
ф-ла, выражающая целую положит. степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых; Частными случаями Н. б. при п = 2 и п = ... смотреть
, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома) через степени этих слагаемых: . Частные случаи Ньютона бинома: квадр... смотреть
НЬЮТОНА БИНОМ, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.<br><br><br>... смотреть
НЬЮТОНА БИНОМ - формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.<br>... смотреть
НЬЮТОНА БИНОМ , формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.... смотреть
НЬЮТОНА БИНОМ, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.... смотреть
- формула, выражающая целую положительную степень суммы двухслагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициентыпри них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или :Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата икуба суммы двух слагаемых x и y.... смотреть
Ньютана біном