НЬЮТОНА МЕТОД

НЬЮТОНА МЕТОД, метод приближённого нахождения корня Хо уравнения f (х) = 0, называемый также методом касательных. Н. м. состоит в том, что по исходному («первому») приближению х = a₁ находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f (х) в точке А [a₁., f(a₁)] до её пересечения с осью Ох; точка пересечения х= = a₁—f(a₁)/f‘(a₁) и принимается за новое значение а₂ корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения а₂, а₃,... корня Хо при условии, что производная f‘(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем Хо. Ошибка E₂ = х₀ — a₂ нового значения a₂ связана со старой ошибкой E₂ = х₀ — а₁

формулой E₂= - f‘‘(E)/f‘(a₁)*E₁² где f‘‘(E) — значение второй производной функции f (х) в нек-рой точке E, лежащей

между x₀ и a₁. Иногда рекомендуется Н. м. применять одновременно с к.-л. другим способом, напр, с линейного интерполирования методом. Н. м. допускает обобщения, к-рые позволяют применять его для решения уравнений F(x) = 0 в нормированных пространствах (F — оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.