ОГИБАЮЩАЯ

ОГИБАЮЩАЯ семейства линий на плоскости (поверхностей в пространстве), линия (поверхность), к-рая в каждой своей точке касается одной линии (поверхности) семейства, геометрически отличной от О. в сколь угодно малой окрестности точки касания (см. Семейство линий, Семейство поверхностей). Уравнение О. семейства линий на плоскости, определяемого уравнением f (х, у, С) = 0, содержащим параметр С, можно получить [в предположении, что f (x, у, С) имеет непрерывные частные производные 1-го порядка по всем трём аргументам], исключив параметре из системы:

f (х, у, С) = 0, f‘_c (х, у, С) = 0. Это исключение, вообще говоря, даёт не только О., но и геометрич. место особых точек линий семейства, т. е. точки, для к-рых одновременно f_х‘=0, f‘_y = 0.

О‘Генри. "Милый жулик". Нью-Йорк, 1917 (илл. неизв. художника).

Примеры (на плоскости): а) семейство окружностей радиуса R, центры к-рых лежат на одной прямой, имеет в качестве О. пару прямых, параллельных линии центров и отстоящих от неё в ту и другую сторону на расстояние R (см. рис. 1); б) всякая кривая служит О. для семейства своих касательных и семейства своих кругов кривизны; в) если в каждой точке кривой построить к ней нормаль, то для полученного семейства прямых О. будет эволюта (см. Эволюта и эвольвента) данной кривой (на рис. 2 изображена эволюта эллипса).

В пространстве для семейств поверхностей могут существовать О., касающиеся поверхностей семейства в точках или же вдоль нек-рых линий. Примеры: а) семейство сфер радиуса R с центрами, расположенными на одной прямой, имеет своей О. круглый цилиндр радиуса R, ось к-рого есть линия центров (касание цилиндра с каждой сферой - по окружности); б) семейство сфер радиуса R, центры к-рых лежат в одной плоскости, имеет О. пару плоскостей, параллельных плоскости центров и отстоящих от неё в ту и другую сторону на расстояние R (касание плоскостей с каждой сферой - в точке).

Понятие О. имеет значение не только в геометрии, но и в нек-рых вопросах математич. анализа (особые решения в теории дифференциальных уравнений), теоретич. физики (в оптике - каустика, фронт волны).

Лит.: Холстов Г. П., К отысканию огибающей семейства плоских кривых, "Успехи математических наук", 1952, т. 7, в. 4; Л а Балл е-П у с с е н Ш.-Ж. д е, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 2, Л. -М., 1933; И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

ОГИБАЮЩАЯ

Синонимы слова "ОГИБАЮЩАЯ":

Смотреть что такое ОГИБАЮЩАЯ в других словарях:

Рекомендуем посмотреть: