ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИЯ

ОПЕРАТОРОВ ТЕОРИЯ, часть функционального анализа, посвящённая изучению свойств операторов и применению их к решению различных задач. Понятие оператора — одно из самых общих математич. понятий.

Общая О. т. возникла в результате развития теории интегральных уравнений, решения задач на нахождение собств. функций и собств. значений для дифференциальных операторов (см., напр., Штурма — Лиувилля задача) и др. разделов классич. анализа. О. т. установила тесные связи между этими разделами математики и сыграла важную роль в их дальнейшем развитии. Ещё до возникновения общего понятия оператора операторные методы широко применялись в решении различных типов дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными (см. Операционное исчисление). О. т. представляет собой основной математич. аппарат квантовой механики (см. Операторы в квантовой теории).

Операторы в линейных пространствах. Чаще всего встречаются операторы, действующие в линейных нормированных пространствах (см. Линейное пространство), в частности в функциональных пространствах, т. е. отображения у — А(х) линейного пространства R или его части в нек-рое линейное пространство R‘ (возможно, совпадающее с К). Этот класс операторов охватывает такие важнейшие понятия, как числовые функции, линейные преобразования евклидова пространства, дифференциальные и интегральные операторы (см. ниже) и т. д. Наиболее изученными и важными для приложений являются линейные операторы. Оператор наз. линейным,

его нормой. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности, т. е. тому, что А(х_п)->А(х), когда х_п —> х. Оператор дифференцирования (пример 2) представляет собой один из важнейших примеров неограниченного (а следовательно, и не непрерывного) линейного оператора. См. также Линейный оператор.

Приведённые выше примеры 1—4 представляют собой примеры линейных операторов. Дальнейшие примеры линейных операторов:

5) Пусть R(s, t) — непрерывная функция двух переменных, заданная в квадрате a <=s <= b, a <= t <= b. Формула

определяет линейный интегральный оператор, наз. оператором Фредгольма.

6) Каждой абсолютно интегрируемой на всей прямой функции f (t) поставим в соответствие функцию

наз. Фурье преобразованием исходной функции. Это соответствие также представляет собой линейный оператор.

7) Левую часть линейного дифференциального уравнения

можно рассматривать как результат применения нек-рого оператора, ставящего в соответствие функции x(t) функцию Y(t). Такой оператор носит назв. линейного дифференциального оператора. Простейшим частным случаем линейного дифференциального оператора является оператор дифференцирования.

Примеры нелинейных операторов:

8) Пусть A[f(t)] = f²(t); определённый т. о. оператор является нелинейным.

9) Пусть

(F — нек-рая ограниченная непрерывная функция). Соответствие g —> h, определяемое этой формулой, представляет собой нелинейный интегральный оператор.

Действия над операторами. Пусть дан оператор

y = A (x), причём никакие два разных элемента х и х‘ не переходят в один и тот же элемент у. Тогда каждому образу у отвечает его единств, прообраз х. Это соответствие наз. обратным оператором и обозначают х = А^-1(у).

Построение обратного оператора эквивалентно решению уравнения у = А(х) относительно х (отыскание неизвестного прообраза по данному образу).

Если A₁ и A₂ — два оператора, отображающих R в R‘, то их суммой А = A_I + A₂ наз. оператор, определяемый равенством А(х) = A₁(x) + А₂(х). Если оператор Ai переводит R в R‘, а A₂ переводит R‘ в R", то результат их последоват. применения представляет собой оператор, отображающий R в R"; его наз. произведением A₂A₁ операторов A₁ и A₂. Если, в частности, рассматриваются операторы, переводящие нек-рое линейное пространство в себя, то сумма и произведение двух таких операторов всегда определены. Результат последовательного применения п раз одного и того же оператора Л есть я-я степень Л" этого оператора. Напр., п-я степень оператора дифференцирования есть оператор «-кратного дифференцирования

Оператор Е, переводящий всякий элемент х в самого себя, наз. единичным. Нулевым наз. оператор О, переводящий каждый элемент в нуль. Очевидно, что при любом Л справедливы равенства: АЕ = ЕА = A и A + О = О + A = А; далее, если A^-1 существует, то A^-1A= AA^-1 = Е (следует заметить, что для двух произвольных операторов A и В произведения AВ и ВA, вообще говоря, не равны между собой). С помощью операций сложения, умножения операторов и умножения операторов на числа можно определить многочлены от линейного оператора, а путём предельного перехода, понимаемого соответствующим образом,— и более сложные функции от оператора. Напр., если D — оператор дифференцирования, то е^D означает оператор, определяемый формулой

имеющий смысл для тех f(t), для к-рых ряд справа сходится. Для аналитич. функций сумма этого ряда равна f(t + 1), т. е. е^D — оператор сдвига, переводящий f(t) в f(t + 1).

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Наиболее полно О. т. разработана для случая линейных операторов в гильбертовом пространстве. Пусть Л — ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Комплексное число X наз. собственным значением оператора Л, если существует такой элемент х не равно О из Н, что А(х) = Lx; при этом х наз. собственным вектором оператора A, отвечающим данному собств. значению. Число L наз. регулярной точкой оператора A, если оператор (A + LE)^-1 существует, определён на всём Н и ограничен; остальные значения L наз. точками спектра оператора A. Каждое собств. значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр, остальную часть спектра наз. непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного оператора, вообще говоря, не исчерпывается его собств. значениями, представляет собой характерную черту линейных операторов в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного евклидова пространства.

Оператор А* наз. сопряжённым к А, если скалярное произведение (Ах, у) = (х, А*у) для всех х и у из Н. Оператор А наз. самосопряжённым, если А = А*, и унитарным, если А* = А^-1. Самосопряжённые и унитарные операторы представляют собой важнейшие и наиболее полно изученные классы линейных операторов в гильбертовом пространстве. Их теория является обобщением теории самосопряжённых и унитарных линейных преобразований n-мерного евклидова пространства. См. также Спектральный анализ (математический ).

Одним из простейших классов ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются вполне непрерывные операторы. Оператор А наз. вполне непрерывным, если он переводит всякое ограниченное множество из Н в компактное (см. Компактность). Спектр вполне непрерывного оператора состоит из конечного или бесконечного счётного числа собств. значений и не имеет отличных от нуля предельных точек. Каждому L не равному 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собств. функций. Непрерывный спектр отсутствует.

Самосопряжённый вполне непрерывный оператор А имеет хотя бы одно собств. значение, причём в Н можно выбрать полную ортогональную систему элементов, состоящую из собств. функций оператора А.

Неограниченные операторы. Понятие ограниченного линейного оператора оказывается во мн. случаях слишком узким. Поэтому возникла необходимость рассматривать т. н. неограниченные операторы. Соответствующее, более общее, определение гласит: оператор А наз. линейным неограниченным оператором в гильбертовом пространстве Н, если: 1) соответствие у = А(х) определено для всех х, принадлежащих нек-рому линейному многообразию Q, называемому областью определения оператора А; 2) А(ах + Ву) = = аА(х) + ВA(y).

Важнейшим классом неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве являются дифференциальные операторы. Мн. задачи математич. физики, в частности теории колебаний, приводят к задаче о разыскании собств. функций и собств. значений различных дифференциальных операторов. Напр., цилиндрические функции, Лежандра многочлены и т. д. представляют собой не что иное, как собств. функции определённых дифференциальных операторов.

Нелинейные операторы. При изучении операторов предположение об их линейности играет весьма существ, роль. Однако в ряде случаев приходится рассматривать и нелинейные операторы. В частности, важное значение в механике и физике имеют нелинейные интегральные уравнения.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972J Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962.