ОПЕРАТОРЫ

ОПЕРАТОРЫ в квантовой теории, математич. понятие, широко используемое в математич. аппарате квантовой механики и квантовой теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) ф др. определённых векторов (функций) ф‘. Соотношение между ф и ф‘ записывается в виде ф‘ = ^Lф, где ^L - оператор. В квантовой механике физич. величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т. д.) ставятся в соответствие О. ^L (О. координаты, О. импульса и т. д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) ф, т. е. на величину, описывающую состояние физич. системы.

Простейшие виды О., действующих на волновую функцию ф(x:) (где x - координата частицы),- О. умножения (напр., О. координаты ^х, ^xф = xф) и О. дифференцирования (напр., О. импульса ^p, ^pф=-ih/(дф/дх) где i - мнимая единица,

h - постоянная Планка). Если ф - вектор, компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу - матрицу.

В квантовой механике в основном используются линейные операторы. Это означает, что они обладают след, свойством: если ^Lф₁ = Ф‘₁ и ^Lф₂ = ф‘₂ то

^L(с₁ф₁ + c₂ф₂) = с₁ф‘₁ + c₂ф‘₂,

где C₁ и с₂ -комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип - один из осн. принципов квантовой механики.

Существ, свойства О. ^L определяются уравнением ^Lф_п = Л_пф_п, где Л_n- число. Решения этого уравнения фп наз. собственными функциями (собств. векторами) оператора ^L. Собств. волновые функции (собств. векторы состояния ) описывают в квантовой механике такие состояния, в к-рых данная физич. величина L имеет определённое значение Л_n. Числа Л_n наз. собственными значениями О. ^L, а их совокупность - спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее фп, имеет решение при любом значении Л_n (в определённой области), во втором - решения существуют только при определённых дискретных значениях Л_n. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собств. значения О. энергии наз. энергетич. уровнями.

Собств. функции и собств. значения О. физич. величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ, значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ, собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии ф должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) фп О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т. н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов.

С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. ^L₁ и ^L₂ понимается такой О. ^L = ^L₁ ^L₂, действие к-рого на вектор (функцию) ф даёт ^Lф = ф", если

^L₂ф = Ф‘ и ^L₁ф‘ = ф". Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е. ^L₁^L₂ не равно ^L₂^L₁. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физич. величин, к-рым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физич. величин является равенство ^L₁^L₂ = ^L₂^L₁(см. Перестановочные соотношения).

Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классич. механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физич. величины, входящие в уравнения классич. механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классич. механикой сведётся тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда наз. q-числами, в отличие от с-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика.

О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых являются унитарные операторы. Унитарные О. не меняют норм ("длин") векторов и "углов" между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханич. системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классич. механике играют канонич. преобразования (см. Механики уравнения канонические).

В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. наз. антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и нек-рые др.

В теории квантовых систем, состоящих из тождеств, частиц, широко применяется метод квантования вторичного, в к-ром рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с изменённым на единицу числом частиц (О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в данной точке х, ^ф(х) формально подобен волновой функции ф(x), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физич. величине соответственно в квантовой и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц; см. Квантовая теория поля).

Лит. см. при статьях Квантовая механика, Квантовая теория поля. В. Б. Берестецкий.