ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций {фп(x)},п=1, 2, . . ., ортогональных с весом р (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

Систематич. изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач ур-ний математич. физики. Этот метод приводит, напр., к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи для ур-ния [р(х)у‘]‘+q(x)у=Лу, удовлетворяющих граничным условиям у(а)+hy‘(a)=0, у(b)+Ну‘(b)=0, где h и Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О. с. ф. с весом р (х) на отрезке [а, b].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф.- ортогональные многочлены - был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоят, раздел математики. Одна из осн. задач теории О. с. ф.- задача о разложении функции f(x) в ряд вида сумма Спфп(х), где {(фп(х)} - О. с. ф. Если положить формально f (х) = сумма Спфп(х), где п(х)} - нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на фп(x) p(x) и интегрируя от а до b, получим:

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же п другими линейными выражениями вида

Сп,

вычисленными по формуле (*), наз. рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. п(х)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f(x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для к-рых это имеет место, наз. полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в неск. эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f(x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций фk(х), то есть limn->ообn =0 [в этом случае говорят, что ряд суммаооn=1 Спфп(х) сходится в среднем к функции f(x)}. 2) Для всякой функции f(x), квадрат к-рой интегрируем относительно веса р (х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:

3) Не существуег отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [а, b] квадратом, ортогональной ко всем функциям фп(х), п = 1, 2, ....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные О. с. ф, будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф.- разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрич. смысл. Напр., формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т. д. Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; К а ч м а ж С., ШтейнгаузГ., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.




Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ →← ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ

Смотреть что такое ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ в других словарях:

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

        система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что                   Примеры. Тригоном... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадр... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

система ф-ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) - нек-рая ф-... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций ??n(х)?, n=1, 2, ..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].<br><br><br>... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ , система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, ... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ, система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке [a, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности:при k?l, где ?(x) - некоторая функция, называемая весом. Напр., тригонометрическая система 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x,... - ортогональная система функций с весом 1 на отрезке [-?, ?].... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ система ФУНКЦИЙ - система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.<br>... смотреть

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

- система функций ??n(х)?, n=1, 2,...,заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразованиеевклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (чтоэквивалентно этому) скалярные произведения векторов.... смотреть

T: 26