ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ, специальные системы многочленов (рп(х)}; п = 0, 1, 2, . . ., ортогональных с весом р(д-) на отрезке [", о] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через р_п(х), а система О. м., старшие коэффициенты к-рых равны 1,- через Р_п(х). В краевых задачах математич. физики часто встречаются системы О. м., для к-рых вес р(х) удовлетворяет дифференциальному ур-нию (Пирсона)

Многочлен Р_n(Х) такой системы удовлетворяет дифференциальному ур-нию

Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и р(х).

1) Якоби многочлены {Р_n^(Л,n)(х)} - при а = -1, b = 1 и р(л:) = (1-x)^Л (1 + х)ⁿ, Л > - 1, n > - 1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям X и ц: Л = n - ультрасферические многочлены Р^(Л)_n(х) (их иногда называют многочленами Гегенбауэра); Л = n = -1/2, т. е. р(х)= 1/корень из (1-х²) - Чебышева многочлены 1-го рода_Т_n(х); Л = n = 1/2, т. е. р(х)= корень из (1-.x²) - Чебышева многочлены 2-го рода U_n(x); Л = n = 0, т. е. р(х) =1 - Лежандра многочлены Р_п(х). 2) Лагерра многочлены L_n(x) - при а = 0, b = + бесконечность и р(х) = е^-x (их наз. также многочленами Чебышева - Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра L^a_n(x) - при р(х) = х^aе^-x(а > - 1). 3) Эрмита многочлены Н_n(х) - при а = -бесконечность , b=+бесконечность и р(х)=е^-х (их наз. также многочленами Чебышева - Эрмита).

О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов р_п(х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b]. Между двумя последоват. нулями многочлена р_n(х) лежит один нуль многочлена p_n+1(x). Многочлен р_n(х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига

где A_n - постоянное, а b(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последоват. О. м. p_n(x),p_n+1(x),p_n+2(x) связаны рекуррентным соотношением: р_n+2(x) = (x- a_n+2)p_n+1(x) - Л_n+1p_n(x), где а_n+2 и Л_n+1 след, образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если

Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Осн. аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла

в непрерывную дробь с элементами вида х - осп и числителями Л_n-1. Знаменатели ф_п(х)/р_n(х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [а, b] относительно веса р(х).

Приведённые выше классич. системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию.

Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций. В. И. Битюцков.