ОШИБОК ТЕОРИЯ

ОШИБОК ТЕОРИЯ, раздел математической статистики, посвящённый построению уточнённых выводов о численных значениях приближённо измеренных величин, а также об ошибках (погрешностях) измерений. Повторные измерения одной и той же постоянной величины дают, как правило, различные результаты, т. к. каждое измерение содержит нек-рую ошибку. Различают 3 основных вида ошибок: систематические, грубые и случайные. Систематические ошибки всё время либо преувеличивают, либо преуменьшают результаты измерений и происходят от определённых причин (неправильной установки измерительных приборов, влияния окружающей среды и т. д.), систематически влияющих на измерения и изменяющих их в одном направлении. Оценка систематич. ошибок производится с помощью методов, выходящих за пределы матем. статистики (см. Наблюдений обработка). Грубые ошибки возникают в результате просчёта, неправильного чтения показаний измерительного прибора и т. п. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других результатов измерений и поэтому часто бывают хорошо заметны. Случайные ошибки происходят от различных случайных причин, действующих при каждом из отдельных измерений непредвиденным образом то в сторону уменьшения, то в сторону увеличения результатов.

О. т. занимается изучением лишь грубых и случайных ошибок. Основные задачи О. т.: разыскание законов распределения случайных ошибок, разыскание оценок (см. Статистические оценки) неизвестных измеряемых величин по результатам измерений, установление погрешностей таких оценок и устранение грубых ошибок.

Пусть в результате n независимых равноточных измерений нек-рой неизвестной величины а получены значения x₁,x₂, . . ., x_n. Разности б₁ = x₁ - а,···, б_n = х_п - а наз. истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все б_i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин б₁,...,б_n. Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b = Еб₁ = . . . = Уб_n наз. систематической ошибкой, а разности б₁ -b,. . ., б_n- b - случайными ошибками. Т. о., отсутствие систематич. ошибки означает, что б = 0, и в этой ситуации б₁, . . ., б_n суть случайные ошибки. Величину 1/о на корень из 2, где о - квадратичное отклонение, наз. мерой точности (при наличии систематич. ошибки мера точности выражается отношением 1/ на корень из 2(b²+о²). Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для нек-рых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины а обычно берут арифметическое среднее из результатов измерений

а разности дельта₁ = x₁ - x, . . ., дельта_n = х_п-х наз. кажущимися ошибками. Выбор x в качестве оценки для а основан на том, что при достаточно большом числе n равноточных измерений, лишённых систематич. ошибки, оценка x с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а (см. Больших чисел закон); оценка x лишена систематич. ошибки (оценки с таким свойством наз. несмещёнными); дисперсия оценки есть

Dx=Е(х-а)² = о

²/n.

Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки о₁ подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты т. н. предельными теоремами теории вероятностей). В этом случае величина х имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием а и дисперсией о²/n. Если распределения б_i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещённой оценки для а, напр. медианы, не меньше Dх. Если же распределение б_iотлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.

Если дисперсия отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной

(Es²=о², т. е. s² - несмещённая оценка для о²), если случайные ошибки б_i имеют нормальное распределение, то отношение

подчиняется Стьюдента распределению с n-1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а~х (см. Наименьших квадратов метод).

Величина (n-1)s²/о² при тех же предположениях имеет распределение x² (см. "Хи-квадрат" распределение) с n-1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства о~s. Можно показать, что относительная погрешность |s-о|/s не будет превышать числа q с вероятностью

w= F(z₂, n-1)-F(z₁, n-1),

где F(z, n-1) - функция распределения x²,

Лит.: Линник Ю.В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Большев Л.Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Л. Н. Большее.