ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ системы обыкновенных дифференциальных уравнений

- соотношение вида

(где С - произвольная постоянная), левая часть к-рого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y₁ = y₁(x), ..., у_n= y_n(х) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения). Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в

мерном пространстве Oxy₁ ... у_n, на каждой из к-рых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Напр., одним из П. и. системы

является

(круговые цилиндры); интегральные кривые

суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис.). Если известно k независимых П. и.

системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то общий интеграл системы получается без интегрирования.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.