ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений
Это такие решения y1=ф1(t), к-рые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t, т. е. для всех значений t ф1 (t + Т) = фi (t), где Т>0 - период решения. Если система (1) стационарна, т. е. функции f1 = F1(y1, .... уn), где i = 1,..., n, явным образом не зависят от t, то в фазовом пространстве (y1,..., уn) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя
где
к-рым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений спец. типов.
В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений
фазовым пространством к-рой является плоскость (х, у). Точки покоя системы (2) находятся из системы уравнений: Р(х, у)=0, Q(х, у) = 0. Система (2) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если
(критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы (2) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области К (см. рис.), что все траектории входят в неё при t _> + бесконечность или при t_> - бесконечность; если область К не содержит точек покоя системы (2), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, к-рой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре - Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы (2) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р. Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Д ж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляю... смотреть