ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ, интеграл от функции, заданной на к.-л. поверхности. К П. и. приводит, напр., задача вычисления массы, распределённой по поверхности S с переменной поверхностной плотностью f(M). Для этого разбивают поверхность на части s₁, s₂, ..., s_n и выбирают в каждой из них по точке M_t. Если эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны f(Mi)si, а масса всей поверхности будет

где предел берётся при условии, что размеры всех частей s (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы наз. П. и. первого рода от функции f(M) по поверхности S и обозначают

Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. Кратный интеграл).

В нек-рых задачах физики, напр, при определении потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берётся со знаком + или -в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида наз. П. и. второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают

В отличие от П. и. первого рода, знак П. и. второго рода зависит от ориентации поверхности S.

М. В. Остроградский установил важную формулу, связывающую П. и. второго рода по замкнутой поверхности S с тройным интегралом по ограниченному ею объёму V (см. Остроградского формула). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объёме V выполняется тождество

то П. и. второго рода по всем поверхностям, содержащимся в V и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции P₁, Q₁, R₁, что

Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.

Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973; Ильин В. А.,Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.