ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ

ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ, совокупность точек плоскости хОу, в каждой из к-рых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y‘=f(x, у), то в каждой точке (х₀, у₀) нек-рой области плоскости хОу известно значение углового коэфф. k = = f(x₀, у_о) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой (небольшим отрезком). Таким образом, это дифференциальное уравнение определяет П. н.; наоборот, П. н., заданное в некоторой области плоскости хОу, определяет дифференциальное уравнение вида y‘=f(x,y). Проводя достаточно густую сеть изоклин [линий одинакового наклона П. н. f(x, у) = С, где С -постоянная], можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля (метод изоклин). На рис. изображено П. н. уравнения у‘=х² + у²; тонкие линии (окружности) - изоклины; жирные линии -интегральные кривые.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М.. 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970.