ПОЛНАЯ КРИВИЗНА

ПОЛНАЯ КРИВИЗНА, гауссова кривизна, одна из мер искривления поверхности в окрестности к.-л. её точки, равная произведению главных кривизн (см. Кривизна). Для плоскости (а также для любой развёртывающейся линейчатой поверхности) она обращается в нуль. Для сферы она постоянна и равна обратной величине квадрата радиуса сферы. В случае поверхности, имеющей вид автомобильной шины (тор), П. к. отрицательна в точках, прилегающих к колесу, и положительна в наружных точках.

Если окрестность данной точки Р на поверхности отобразить на сферу единичного радиуса, ставя в соответствие каждой точке окрестности конец радиуса, направленного так же, как вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке, то отношение площади полученной части сферы к площади окрестности на поверхности будет стремиться к П. к., если окрестность будет стягиваться к точке Р. Для того чтобы это утверждение было верным во всех случаях, нужно при подсчёте площадей на сфере приписывать им знаки + или - в зависимости от направления обхода границы на сфере при определённом направлении обхода области на поверхности.

П. к. остаётся неизменной при изгибании поверхности, т. е. при такой её деформации, при к-рой длины линий на поверхности не изменяются. См. Поверхностей теория.