ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ МЕТОД, метод решения мате-матич. задач при помощи такой последовательности приближений, к-рая сходится к решению и строится рекурреитно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифферен-циальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математич. задач.

1) Для решения уравнения

и в качестве начального приближения a_о взято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в к-ром лежит корень (напр., с помощью графич. методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение йо выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения a_n-1 и а_псовпадут с заданной степенью точности, вы-

a₁ = 0,554, a₂ = 0,570, а₃ = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен а₄ =~0,567).

2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраич. уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

пределы а, р, у заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения х₀, y₀, z₀, если, напр., в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов c_ijменьше единицы.

3) Для того чтобы найти решение y=y(х) дифференциального уравнения

составляют последовательность функций у₁(х), у₂(х), . . ., у_n(х), . . . Если она равномерно сходится, то предел её будет искомым решением.

4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u₀(x, у) и составляют затем линейное уравнение

Пусть и₁(х, у) - решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая и₁ первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность (и_п(х, у)} при нек-рых предположениях сходится и даёт решение задачи.

О применимости П. п. м. см. статью Сжатых отображений принцип.