ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ теории вероятностей, общее назв. ряда теорем вероятностей теории, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Исторически первые П. т.- теорема Бернулли (1713) и теорема Лапласа (1812) - относятся к распределению отклонений частоты появления нек-рого события Е при п независимых испытаниях от его вероятности р(0<р<1). Частотой называется отношение т/га, где т - число наступлений события Е при п испытаниях (точные формулировки см. в ст. Бернулли теорема и Лапласа теорема). С. Пуассон (1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность рц наступления Е в k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при n->БЕСКОНЕЧНОСТИ распределения отклонений частоты т/п от среднего арифметического р вероятностей p_k(1<=k<=n):

(см. Больших чисел закон). Если обозначить через x_k, случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Е в k-миспытании, и значение, равное нулю при его непоявлении, то т можно представить в виде суммы

т = X₁ + Х₂ + . . . + Х_n,

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи общих П. т., относящихся к суммам независимых случайных величин (закона больших чисел и центральной предельной теоремы).

Закон больших чисел. Пусть X₁,X₂, ... , Х_п, ... (*) - к.-л. последовательность независимых случайных величин, s_n - сумма первых га из них

s_n

= X, + Х₂ + . . . + Х_п, А_n и В²_n - соответственно математическое ожидание

суммы s_n. Говорят, что последовательность (*) подчиняется закону больших чисел, если при любом е>0 вероятность неравенства

стремится к нулю при n->БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (в 1867) (см. Больших чисел закон). Эти условия затем были обобщены А. А. Марковым (старшим). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решён А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда ве-

личины х_n имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины X" должны иметь конечные математич. ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если при любых Z₁ и Z₂ вероятность неравенства

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной предельной теоремы были указаны Чебышевым (1887), но и в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляпуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть

ности (*) применима центральная предельная теорема. Окончат. решение вопроса об условиях приложимости центральной предельной теоремы получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (1935). Из др. направлений работ в области П. т. можно отметить следующие.

1) Начатые Марковым и продолженные Бернштейном и др. исследования условий приложимости закона больших чисел и центральной предельной теоремы к суммам зависимых величин.

2) Даже в случае последовательности одинаково распределённых случайных величин можно указать простые примеры, когда суммы имеют в пределе распределение, отличное от нормального (речь идёт о невырожденных распределениях, т. е. о распределениях, не сосредоточенных целиком в одной точке). В работах сов. математиков А. Я. Хинчина, Б. В. Гне-денко, франц. математиков П. Леви, В. Дёблина и др. полностью изучены как класс возможных предельных распределений для сумм независимых случайных величин, так и условия сходимости распределений сумм к тому или иному предельному распределению.

3) Значит. внимание уделяется т. н. локальным П. т. Пусть, напр., величины х_п принимают лишь целые значения. Тогда суммы s_n принимают также только целые значения и естественно поставить вопрос о предельном поведении вероятностей Р_n(т) того, что s_n=m (где т -целое). Простейшим примером локальной П. т. может служить локальная теорема Лапласа (см. Лапласа теорема)

4) П. т. в их классич. постановке описывают поведение отд. суммы s_n с возрастанием номера n. Достаточно общие П. т. для вероятностей событий, зависящих сразу от неск. сумм, получены впервые Колмогоровым (1931). Так, напр., из его результатов следует, что при весьма широких условиях вероятность неравенства

имеет пределом величину

5) Перечисленные выше П. т. относятся к суммам случайных величин. Примером П. т. иного рода могут служить П. т. для членов вариационного ряда. Эти П. т. подробно изучены сов. математиками Б. В. Гнеденко и Н. В. Смирновым.

6) Наконец, к П. т. относят также и теоремы, устанавливающие свойства последовательностей случайных величин, имеющие место с вероятностью, равной единице (см., напр., Повторного логарифма закон).

Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1949; Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы, 2 изд., М., 1973. Ю. В. Прохоров.