ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ дифференциальных уравне-н и и, получение аналитич. выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью к-рых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на нек-ром шаге процесса.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Напр., пусть требуется найти решение дифференциального уравнения у‘ - f(x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (x₀) = y_о, причём известно, что f (x, у) - аналитич. функция х, у в нек-рой окрестности точки (х_о, у_о). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

Коэффициенты A_k, ряда могут быть найдены либо по формулам:

либо с помощью неопределённых коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х- х₀.

Часто (напр., при изучении периодич. движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение осн. уравнения можно искать в виде ряда, первым членом к-рого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (напр., при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретич. обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при нек-рых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, напр., метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

Поясним эти методы на примере уравнения y‘ = f(x, y) с начальным условием у (х₀) = y₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в нек-рой окрестности точки х₀ в виде ряда по степеням h = х - х_0.Осн. характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения. Осн. идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у(х) в точках x₁, х₂, ..., х_пнек-рого фиксированного отрезка [х_о, b]. Так, для того чтобы вычислить y(x₁), где x₁= х_о + h, h = (b - х_о)/п,

представляют y(x₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = x₁ - х_о. Напр., ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у(х_k) формулы:

Это т. н. метод ломаныхЭйле-ра (на каждом отрезке [х_k, х_k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком - звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h².

В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f(x, у) в нек-рых точках, к-рая даёт с определённой точностью неск. первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Напр., правая часть формулы Рунге:

даёт первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵. В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной

Примером разностной формулы П. р. является экстраполяц. формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая "разности" 3-го порядка:

даёт решение у(х) в точке х_kс точностью до величин порядка h⁴.

Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у" = f(x, у). По этой формуле находят Д²y_n-1, а затем y_n+1 = = у_п + Дy_n+1 + Д²y_n-1. Найдя у_п+1 вычисляют y"_n+1= f(x_n+1, y_n+1), находят разности и повторяют процесс далее.

Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитич. и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в нек-рых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1955.