ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО, в первоначальном смысле - евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, наз. также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость - одной несобственной прямой, всё пространство - одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные - разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные - разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

П. п. можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четвёрок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как точки П. п., и тогда числа четвёрок наз. однородными координатами точек, либо как плоскости П. п., а числа наз. однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки (x¹:x²:x³:x⁴) и плоскости (u¹:u²:u³:u⁴) выражается равенством: сумма ⁴_i=1 u_ixⁱ=0 Аналогичным образом вводится понятие n-мерного П. п., играющего важную роль в алгебраической геометрии, причём координатами его могут быть элементы нек-рого тела k. В более общем смысле П. п.- совокупность трёх множеств элементов, наз. соответственно точками, прямыми и плоскостями, для к-рых определены отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии. А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин показали, что если П. п. над телом k есть связное компактное топологическое пространство, в к-ром прямая непрерывно зависит от двух принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то k есть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов.

Лит. см. при ст. Проективная геометрия.