РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ

РАВНОВЕЛИКИЕ И РАВНОСОСТАВЛЕННЫЕ ФИГУРЫ. Равновеликие фигуры - плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры - фигуры, к-рые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновеликими. Венг. математик Я. Больяй (1832) и нем. математик П. Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными (теорема Больяй - Гервина). Поэтому разрезанием на части и перекладыванием их можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносоставленности лежит в основе "метода разбиения", применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм "разрезанием и перекладыванием" сводят к прямоугольнику, треугольник - к параллелограмму, трапецию - к треугольнику. Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, к-рое лежит в основе "метода дополнения", т. е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Равновеликие многогранники не всегда являются равносоставленными. (Поэтому при выводах формулы объёма треугольной пирамиды используют исчерпывания метод или иное завуалированное интегрирование, напр. Кавальеры принцип. См. таклсе Объём.) Так, напр., куб и равновеликий ему правильный тетраэдр не являются равносоставленными - г. н. теорема Дена, доказанная нем. математиком М. Деном (1901) и составившая отрицательное решение третьей проблемы Гильберта. Для доказательства Ден построил нек-рую систему аддитивных инвариантов, равенство к-рых необходимо для равносоставленности многогранников, и убедился, что среди его инвариантов есть такие, к-рые принимают разные значения для куба и равновеликого ему правильного тетраэдра. Эти работы были продолжены швейц. математиком X. Хадвигером и его учениками; в частности, Ж. П. Зидлер установил, что совпадение инвариантов Дена двух многогранников не только необходимо, но и достаточно для их равносоставленности. Лит.: Проблемы Гильберта. Сб., М., 1969; Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; Энциклопедия элементарной математики, кн. 5, М., 1966. В. Г. Болтянский.