РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ многочлена, представление его в виде произведения двух или большего числа многочленов низших степеней, напр.: х²-1 = (х-1)(х+ 1), х²-(а + b)х + + аb = (х-а )(х-b), x⁴-а⁴ = (х-a)(х + а) x x (x²+а²). Простейшие приёмы Р. на м.: вынесение общего множителя за скобку: х⁴+а²х² = х²(х² + а²), х(х-а)-b(х-а) = = (x-а)(х-b); применение готовых (запоминаемых наизусть) формул: х²-а² = = (х-а)(х + а), x³-а³ = (х-а)(х² + ах + + а²), х² + 2ах + а²=(х + а)², x³ + 3ах² + + 3а²х + а³ = (х + а)³; способ группировки, напр. х³ + ах² + а²х + а³ = (х³ + ах²) + (а²х + + а³)=х²(х + а)+а²(х + а)=(х + а)(а² + х²); х⁴ + а⁴ = (х⁴+ 2а²х² + а⁴) - 2а²х² = (х² + + a²)² - (корень квадратный из 2ax)² = (х²- корень квадратный из 2ax + а²)(х² + + корень квадратный из 2ax + a²), и т. п. Если многочлен степени п р(х) = а₀ + a₁х + а₂х² + . . . + а_nхⁿ (а_n не равно 0) имеет корни х₁, х2, . . ., х_n, то справедливо Р. на м.: р(х)=а_п (x-x₁). . . (х-х_п); здесь все множители 1-й степени (линейные). Напр., из того, что многочлен 3-й степени х³ - 6х² + 11х - 6 имеет корни x₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, вытекает Р. на м.: х³ + 6х² + 11x -6= (х - 1)(x-2)(х-3). Вообще, каждый многочлен с действит. коэффициентами разлагается на множители 1-й или 2-й степени также с действит. коэффициентами. Так, выше было указано разложение: x⁴ + a‘⁴= (x²-корень квадратный из 2ax + a²) x x (х² + корень квадратный из 2ax + а²). Здесь все множители 2-й степени; при а действительном и неравном нулю они могут быть разложены только на множители с комплексными коэффициентами, напр. x2 - корень квадратный из 2ax +a2 = (x - 1-i/корень квадратный из 2 ^. a)(x - 1+i/корень квадратный из 2 ^. a). Среди многочленов от двух или большего числа переменных существуют многочлены сколь угодно высокой степени, к-рые вообще не разлагаются на множители (неприводимые многочлены); таков, напр., многочлен х^п + у при любом натуральном и. См. Многочлен, Неприводимый многочлен.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971. А. И. Маркушевич.