РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ

РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ, метод установления связи между физ. величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин.

В основе Р. а. лежит требование, согласно к-рому уравнение, выражающее искомую связь, должно оставаться справедливым при любом изменении единиц входящих в него величин. Это требование совпадает с требованием равенства размерностей в левой и правой частях уравнения. Формула размерности физ. величины имеет вид:

где [N] - символ размерности вторичной величины (обычно берётся в прямые скобки); L, М, Т, . . .- символы величин, принятых за основные (соответственно длины, массы, времени и т. д.); l, т, t, . . .- целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа. Показатели степени в формуле (1), т. е. числа l, т, t, наз. показателями размерности или размерностью производной величины [N]. Так, формула размерности для ускорения (символ а) записывается в виде [a]=L Т^-2, для силы- [F]=LMT^-2. Понятие размерности распространяется и на осн. величины. Принимают, что размерность осн. величины в отношении самой себя равна единице и что от др. величин она не зависит; тогда формула размерности оси. величины совпадает с её символом. Если единица производной величины не изменяется при изменении к.-л. из осн. единиц, то такая величина обладает нулевой размерностью по отношению к соответствующей основной. Так, ускорение обладает нулевой размерностью по отношению к массе. Величины, в размерность к-рых все осп. величины входят в степени, равной нулю, наз. безразмерными. Выбор числа физ. величин, принимаемых за основные, и самих этих величин в принципе произволен, но практич. соображения приводят к нек-рому ограничению свободы в выборе основных величин и их единиц.

В СГС системе единиц за основные величины принимают длину, массу и время. В этой системе размерность выражается произведением трёх символов L, М и Т, возведённых в соответствующие степени. Международная система единиц содержит семь основных величин.

Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, то можно составить уравнение размерностей, в к-ром в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой - произведение символов величин, от к-рых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности. Задача нахождения связи между физ. величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерности. Если, напр., требуется определить время t прохождения пути s телом массой М, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы f, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:

где х, у, z - неизвестны. Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении (2) приводит к системе уравнений x +z = 0, у + z = 0, -2z = l, откуда следует, что

Безразмерный коэфф. С, равный, согласно законам механики, корень квадратный из 2, рамках Р. а. определить нельзя.

В этом состоит своеобразие Р. а. Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэфф. (или коэфф., зависящего от безразмерного параметра, напр. от угла). Для получения точных количественных соотношений нужны дополнит. данные. Поэтому Р. а. не является универсальным методом. Он нашёл плодотворное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и др.), где строгое решение задачи часто наталкивается на значит. трудности, в частности из-за большого числа параметров, определяющих физ. явления. При решении на основе Р. а. сложных задач большую роль сыграла теорема (её называют я-теоремой), согласно к-рой всякое соотношение между нек-рым числом размерных величин, характеризующих данное физ. явление, можно представить в виде соотношения между меньшим числом безразмерных комбинаций, составленных из этих величин. Эта теорема связывает Р. а. с теорией физ. подобия, в основе к-рой лежит утверждение, что если все соответствующие безразмерные характеристики (критерии подобия) для двух явлений одинаковы, то эти явления физически подобны (см. Подобия теория).

Лит.: Бриджмен П. В., Анализ размерностей, Л. - М., 1934; Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 6 изд., М., 1967; Коган Б. Ю., Размерность физической величины, М., 1968; Сена Л. А. , Единицы физических величин и их размерности, М., 1969. Л. А. Сена.