РАЗРЫВА ТОЧКА

РАЗРЫВА ТОЧКА, значение аргумента, при к-ром нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в нек-рой точке а происходит так, что существуют пределы

при стремлении х к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f(a). В этом случае а наз. Р. т. 1-го рода. Если при этом f(a + 0) = f(a - 0), то разрыв наз. устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f(a) = f(a + 0) = = f(a - 0). Напр., точка а = 0 является точкой устранимого разрыва для функции f(x) = sin x/x при х не равно 0 и f(0) = 0, так как для восстановления непрерывности достаточно положить f(0) = 1. Если же скачок o = f(a + 0) - f(a - 0) функции f(x) в точке а отличен от нуля, то при любом определении значения f{a) точка а остаётся Р. т. Примером такой Р. т. служит точка а = 0 для функции

f(x) = arctg 1/x (в этом случае в самой точке а функция может оставаться неопределённой). Р. т. 1-го рода наз. правильной, если

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то а наз. Р. т. 2-го рода [примеры: точка а = 2 для функции f(x) = 1/x-2, точка а = 0 для функции f(x) = sin1/x .