РАУСАГУРВИЦА ПРОБЛЕМА

РАУСА-ГУРВИЦА ПРОБЛЕМА, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраич. уравнения

а_оzⁿ + а₁z^n-1 + ... + а_n-1z, z + а_n =0, имеющих положительные действительные части. В случае действительных коэффициентов a_o, a₁, ..., a_n справедлива формула

где V - число знакоперемен в ряде чисел a_о, D₁, D₂/D₁,.., a D_l(l = 1, 2, ..., n)- определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда нек-рые из D_l равны нулю. В случае l= 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р.- Г. п. исследовалась ранее франц. математиком III. Эрмитом (1856) и англ. механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрич. правилом. Точка, изображающая комплексную величину

a_o(iw)ⁿ +a₁(tw)^n-1+ ... + а_n, при изменении со от 0 до + бесконечности описывает кривую. Если при этом полярный угол О точки кривой получает приращение

Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует v = n, что даёт получивший широкое распространение в технич. литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

В приложениях встречаются обобщения Р.- Г. п. па случай комплексных коэффициентов а_о , а₁ , ..., а_т и па случай трансцендентных уравнений.