РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, получающаяся в результате конечного числа арифметич. операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:

где a_о, a₁, ..., а_n и b_o, b₁, ..., b_m(a_o не равно 0, b_o не равно 0) - постоянные, а n и m - неотрицательные целые числа. Р. ф. определена и непрерывна для всех значений х, кроме тех, к-рые являются корнями знаменателя Q(x). Если E - корень кратности k знаменателя Q(x) и одновременно корень кратности r (r>=k) числителя Р(х), то R(x) имеет в точке E устранимый разрыв; если же r<k, то R(x) имеет в точке E бесконечный разрыв (полюс). Многочлен является частным случаем Р. ф. (при т = 0), поэтому многочлены иногда наз. целыми Р. ф.; всякая Р. ф. есть отношение двух многочленов. Др. примером Р. ф. может служить дробно-линейная функция.

Если в формуле (1) п<т (m>0), то Р. ф. наз. правильной; если же n>=m, то R(x) может быть представлена в виде суммы многочлена М(х) степени п - га и правильной Р. ф.

многочлены М(х) и P₁(x) (степень последнего меньше m) однозначно определяются из соотношения

Р(х) = M(x)Q(x) + Р₁,(х) (формула деления многочлена с остатком).

Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметич. операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в к-рых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная

также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R₁(x) на простейшие дроби:

где x₁, ..., х_s - различные корни многочлена Q(x) соответственно кратностей k₁, ... , k_s (k₁ + ... + k_s - m), а А⁽ⁱ⁾_j - постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P₁(x) и Q(x) - действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q(x) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:

где трёхчлен х² + px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4q > р²).

Для определения коэффициентов A⁽ⁱ⁾_j, Lj и Dj можно воспользоваться неопределённых коэффициентов методом, Интегралы от простейших дробей

не являются Р. ф.:

а интегралы от простейших дробей

при k > 1 являются: первый - Р. ф., а второй - суммой Р. ф. и интеграла такого же вида, как при k = 1. Т. о., интеграл от любой Р. ф. (не являющейся многочленом) представляется в виде суммы Р. ф., арктангенсов и логарифмич. функций. М. В. Остроградский дал алгебраич. метод определения рациональной части интеграла от Р. ф., не требующий ни разложения Р. ф. на простейшие дроби, ни интегрирования (см. Остроградского метод).

Р. ф. являются весьма важным классом элементарных функций. Рассматриваются также Р. ф. нескольких переменных; они получаются в результате конечного числа арифметич. операций над их аргументами и произвольными числами. Так,

даёт пример Р. ф. двух переменных и и V.

В сер. 20 в. Р. ф. нашли широкое применение в вопросах приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций).