СВЁРТКА ФУНКЦИЙ

СВЁРТКА ФУНКЦИЙ f₁(x) и f₂(x), функция

С. ф.f₁(x) и f₂(x) обозначают f₁*f₂. Если f₁и f₂являются плотностями вероятности независимых случайных величин X и Y, то f₁*f₂есть плотность вероятности случайной величины X + У. Если F_k(X) - Фурье преобразование функции f_k (х), то есть

то F₁(x)F₂(x) является преобразованием Фурье функции f₁*f₂. Это свойство С. ф. находит важные приложения в теории вероятностей (см. Характеристическая функция). Аналогичным свойством обладает С. ф. и относительно Лапласа преобразования, что находит широкие приложения в операционном исчислении. Операция свёртывания функций перестановочна и сочетательна, то есть f₁*f₂ = f₂*f₁ и f₁*(f₂*f₃) = (f₁*f₂)*f₃. Поэтому её можно рассматривать как вид умножения функций, что даёт возможность применить к изучению С. ф. теорию нормированных колец