СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП

СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПРИНЦИП, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при нек-ром специальном ("сжимающем") отображении его в себя. С. о. п. применяют гл. обр. в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрич. пространства М в себя, к-рое каждой точке х из М сопоставляет нек-рую точку у = Ах из М, порождает в пространстве М уравнение

Ах = х. (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ах. Точка х наз. неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

Отображение А метрич. пространства М в себя наз. сжатым, если существует такое положит. число а<1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

d(Ax, Ay) <= ad(x, у),

где символ d(u,v) означает расстояние между точками и и v метрич. пространства М.

С. о. п. утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрич. пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того,

для любой начальной точки х₀из М последовательность {х_n,}, определяемая рекуррентными соотношениями

х_п = Ах_п-1, п

- 1, 2,...

имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:

С. о. п. позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости С. о. п. решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

С помощью определённого выбора полного метрич. пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при к-рых отображение А оказывается сжатым.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959. Ш.А.Алимов.