СИГМАФУНКЦИИ

СИГМА-ФУНКЦИИ, целые трансцендентные функции, введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптич. функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция

числа, отношение к-рых не является вещественным, а т и п независимо друг от друга пробегают все положит. и отрицат. целые числа, кроме т = п = 0. Функция б(z) имеет простые нули при z = w, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w₁, 2w₂, 2 (w₁ + w₂) параллельными переносами вдоль его сторон.

При помощи функции б(z) могут быть определены дзета-функция ?(z) и эллиптич. функция P(z) Вейерштрасса:

определяют остальные три С.-ф. Имеем б(0) = 0, б_k(0) = 1, k = 1,2,3. Функция б(z) является нечётной, а три остальные С.-ф.- чётные.

Любая эллиптическая функция f(z) с периодами 2w₁ и 2w₂ может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле

где С - постоянная, a₁, ..., а_г и b₁, ..., br - соответственно полные системы нулей и полюсов функции f (z), удовлетворяющие условию а₁ + ... + а_r = b₁ +...+b_r.

С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Г у р в и ц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и В а т с о н Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.