СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, напр.
или x12+ x22 + x32 - 4x1 x2 х3.. Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них -элементарные симметрические многочлены (э. с. м.)- функции
где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, I, ...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x1, x2 ,..., хn являются корнями уравнения:
хп - f1xn-1
+ f2xn-2 - ... + ( - 1)nfn = 0. Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F(x1, хг, ..-, хп) = = G (f1, f2, ..., fn); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; напр.,
x12
+ x22 + x32 - 4x1 x2 х3. = f12 - 2f2 - 4f3.
Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы
Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона
позволяющими последовательно выражать fk через sm и обратно.
Функция наз. кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x1, x2, ..., хп и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f1, f2, ..., fn и разностное произведение (см. Дискриминант) D = Пk<l (xk - xl), квадрат к-рого является С. ф. и потому рационально выражается через f1, f2, ..., fn. Лит.: К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
Смотреть больше слов в «Большой советской энциклопедии»
Функция от n переменных х1, x2,..., хn наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x12x2 + x12x... смотреть
функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например , где суммы распростране... смотреть
Симметрические функции — Функция от n переменных х 1, x2,..., х n наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переме... смотреть