СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ

СИНУСОИДАЛЬНЫЕ СПИРАЛИ, синус-спирали, кривые, уравнения к-рых в полярной системе координат имеют вид

где п - рациональное число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия) (соответственно при п = 1, -1, -2, 2, 1/2 , -1/2). Логарифмическую спираль можно рассматривать как нек-рый предельный случай С. с. при п = 0 [хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей С. с., лежащие в конечной части плоскости, от С. с., имеющих бесконечные ветви. Проекция центра кривизны любой точки С. с. на радиус-вектор этой точки делит его в отношении п : 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора С. с. вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания. Поэтому С. с. наз. также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном и С. с. состоит из п лепестков, лежащих в углах

касаясь в начале координат сторон угла. Углы

не содержат точек С. с., отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а •2-¹1п правильный n-угольник P₁, P₂, ..., Р_п, то множество точек, произведение расстояний к-рых до точек P₁, Р₂, ..., Р_n равно аⁿ/2, является С. с. Площадь одного лепестка С. с. равна

где Г(х) - гамма-функция. При натуральном п С. с. имеет п осей симметрии. Если п = 1/q, то кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r = а, ф = п/2

и после оборота на угол qп/2 приходящей в полюс. С. с. при п = p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая геометрия), обладающей р осями симметрии, наклонёнными к вертикальной оси под углами 2пqk/p, 0 <=k<p. Изучение С. с. с отрицательными значениями п сводится к изучению С. с. с положительными п при помощи преобразования инверсии. С. с. применяются в нек-рых вопросах механики, геодезии и др.