СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ (экстраполирование), предсказание значения случайного процесса в нек-рый будущий момент времени по наблюдённым значениям этого процесса (или, более общо, к.-л. статистически с ним связанного процесса - напр. суммы прогнозируемого процесса с искажающими наблюдения случайными помехами, т. е. с "шумом") в прошлом и настоящем. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое значение процесса X(t) в момент t = t₁ не может быть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться, чтобы случайная ошибка прогноза А = X(t₁) -- X₁(t₁) [где X₁(t₁)- предсказанное значение X(t₁)] в среднем была бы по возможности наименьшей. В теории С. п. п. оптимальным (наилучшим) обычно считается прогноз, для к-рого минимально матем. ожидание квадрата ошибки А; такой оптимальный прогноз совпадает с условным матем. ожиданием случайной величины X(t₁)при условии, что наблюдаемые величины, по к-рым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений) значения.

Большое место в теории С. п. п. занимает теория оптимального линейного С. п. п., посвящённая методам нахождения линейной функции от данных наблюдений такой, что для неё средний квадрат её отклонения от X(t₁) меньше, чем для всех других линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное С. п. п. совпадает с общим оптимальным С. п. п.

Общая теория оптимального линейного С. п. п. для стационарных случайных процессов была разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Большое развитие получила также теория оптималь ного (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования процессов, являющихся компонентами марковских случайных процессов.

Лит.: Колмогоров А. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, "Изв. АН СССР. Сер. математическая", 1941, т. 5, № 1; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы, М., 1974; Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1 - 2, М., 1974; W i е п е г N., Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, N. Y., 1949.

А. М. Яглом.