СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ, понятие математич. анализа. При решении многих задач: математич. физики (в теории колебаний, теплопроводности и т. д.) возникает необходимость в нахождении не равных тождественно нулю решений однородных линейных дифференциальных уравнений L(y) = y, удовлетворяющих тем или иным краевым условиям. Такие решения называют С. ф. задачи, а соответствующие значения  - собственными значениями. Если дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями самосопряжённое (см. Самосопряжённое дифференциальное уравнение), то его собственные значения действительны, а С. ф., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Если дифференциальное уравнение рассматривается на конечном отрезке и его коэффициенты не имеют на этом отрезке особенностей, то множество С. ф. счётно (задача имеет дискретный спект р); знание С. ф. и соответствующих собственных значений позволяет тогда при нек-рых условиях получить решение задачи в виде ряда по С. ф. (см. Фурье метод). Если

же уравнение рассматривается на бесконечном промежутке или его коэффициенты имеют особенности (напр., если коэффициент при старшей производной обращается в нуль), может существовать континуум С. ф., и вместо разложения в ряд получается разложение в интеграл по С. ф., аналогичное представлению в виде Фурье интеграла. В этом случае говорят, что задача имеет непрерывный спектр. Многие специальные функции (ортогональные многочлены и др.) служат С. ф. нек-рых уравнений. В теории интегральных уравнений С. ф. ядра K(X, у) называют функцию, удовлетворяющую при нек-ром значении  уравнению

Всякое симметрическое непрерывное ядро имеет С. ф. В этом случае всякая функция, представимая в виде

может быть разложена в ряд по С. ф. Если ядро имеет особенности или задано в бесконечной области, то может также возникнуть непрерывный спектр. Наиболее общим образом С. ф. можно определить как собственные векторы линейных операторов в линейных функциональных пространствах. В квантовой механике С. ф. оператора, отвечающего к.-л. физич. величине (см. Операторы в квантовой теории), соответствуют состояниям системы, в к-рых данная физич. величина имеет определённое значение.

Иногда С. ф. называют также фундаментальными функциями, характеристич. функциями и т. д.