СОПРЯЖЁННЫЕ ФУНКЦИИ

СОПРЯЖЁННЫЕ ФУНКЦИИ, функции и(х, у), v(x, у) двух переменных х и у, связанные в нек-рой области D условиями Коши - Римана (см. Коши-Римана уравнения):

При определённых условиях, напр, при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. и являются соответственно действительной и мнимой частью иск-рой аналитич. функции f(x + iy). Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа

т. е. являются гармоническими функциями. Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., и(х, у)] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармонич. функция v(x, у), а тем самым и аналитич. функция f(x+iy). Напр., если

- гармоническая функция в нек-ром круге |x + iy| = r < R, то С. ф.

Значения С. ф. на круге r = 1 являются периодич. функциями аргумента . Они раскладываются в тригонометрич. ряды вида

называемые сопряжёнными тригонометрич. рядами.