СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ

СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ, конфокальные кривые [от лат. con (cum) - с, вместе и фокус], линии второго порядка, имеющие общие фокусы. Если F и F‘ - две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F и F‘ своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырёх точках) под прямым углом (углом между двумя кривыми в точке пересечения наз. угол между их касательными). Всё множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется ур-нием

где с - расстояние фокусов от начала координат, а  - переменный параметр. При >с² это ур-ние определяет эллипс, при 0<<с² - гиперболу (при  <0 - мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится система т. н. эллиптических координат. Именно, если М(х,у) - произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и у в ур-ние (*), получим квадратное уравнение для ; корни его , ₂ и наз. эллиптич. координатами точки M. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптич. координатной системы, т. е. определяются ур-ниями  = const, ₂ = const.